Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x2 biết Fπ2=π4.

Câu hỏi:

Tìm một nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)={\sin }^2\frac{x}{2}$ biết $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

A. $F\left(x\right)=\frac{x}{–2}+\frac{\sin x}{2}+\frac{1}{2}$

B. $F\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+\frac{3}{2}$

C. $F\left(x\right)=\frac{x}{2}–\frac{\sin x}{2}+\frac{1}{2}$

Đáp án chính xác

D. $F\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+\frac{5}{2}$

Trả lời:

Chọn C
$F\left(x\right)=\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\int \left(1–\cos x\right)dx=\frac{x}{2}–\frac{1}{2}\sin x+C$
$F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff \frac{\mathrm{\pi }}{4}–\frac{1}{2}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}+C=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff C=\frac{1}{2}$
Vậy $F\left(x\right)=\frac{x}{2}–\frac{\sin x}{2}+\frac{1}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho f'(x)=3-5sinx và f(0)=10. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $f‘\left(x\right)=3–5\sin x$ và $f\left(0\right)=10$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

   A. $f\left(x\right)=3x+5\cos x+2$

   B. $f\left(\mathrm{\pi }\right)=3\mathrm{\pi }$

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

   D. $f\left(x\right)=3x–5\cos x$

   Trả lời:

   Chọn B
   $f\left(x\right)=\int f‘\left(x\right)dx=3x+5\cos x+C$
   Do $f\left(0\right)=10\iff C=5$
   Vậy $f\left(x\right)=3x+5\cos x+5\Rightarrow f\left(\mathrm{\pi }\right)=3\mathrm{\pi }$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=xcosx
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\cos x$

   A. $\int f\left(x\right)dx=x\sin x–\cos x+C$

   B. $\int f\left(x\right)dx=–x\sin x–\cos x+C$

   C. $\int f\left(x\right)dx=x\sin x+\cos x+C$

   Đáp án chính xác

   D. $\int f\left(x\right)dx=–x\sin x+\cos x+C$

   Trả lời:

   Chọn C
   Đặt $u=x, dv=\cos xdx$
   Suy ra $du=dx, v=\sin x$
   Do đó $I=x\sin x–\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số f(x)=exln2+e-xsin2x có họ nguyên hàm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $f\left(x\right)=e^x\left(\ln 2+\frac{e^{–x}}{{\sin }^{2}x}\right)$ có họ nguyên hàm là

   A. $F\left(x\right)=e^x\ln 2+2\cos x+C$

   B. $F\left(x\right)=e^x\ln 2–\mathrm{co}t x+C$

   Đáp án chính xác

   C. $F\left(x\right)=e^x\ln 2+\frac{1}{{\cos }^{2}x}+C$

   D. $F\left(x\right)=e^x\ln 2–\frac{1}{{\cos }^{2}x}+C$

   Trả lời:

   Chọn B
   $\int f\left(x\right)dx=\int \left(e^x\ln 2+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx=e^x\ln 2–\mathrm{co}tx+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=x.ex
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x.e^x$

   A. $\int f\left(x\right)dx=2x.e^x–e^x+C$

   B. $\int f\left(x\right)dx=x{e}^x+e^x+C$

   C. $\int f\left(x\right)dx=x.e^x–e^x+C$

   Đáp án chính xác

   D. $\int f\left(x\right)dx=e^x–x.e^x+C$

   Trả lời:

   Chọn C
   $\int f\left(x\right)dx=\int x.e^{x}dx$
   Đặt $u=x\Rightarrow du=dx$ và $dv=e^{x}dx\Rightarrow v=e^x$
   Vậy $\int f\left(x\right)dx=x.e^x–\int e^{x}dx=x.e^x–e^x+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? (I) ∫xdxx2+4=12ln(x2+4)+C (II) ∫cotxdx=-1sin2x+C (III) ∫e2cosxsinxdx=-12e2cosx+C
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?
   (I) $\int \frac{xdx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\ln (x^2+4)+C$
   (II) $\int cotxdx=–\frac{1}{{\sin }^{2}x}+C$
   (III) $\int e^{2\cos x}sinxdx=–\frac{1}{2}{e}^{2\cos x}+C$

   A. Chỉ (I)

   B. Chỉ (III)

   C. Chỉ (I) và (II)

   D. Chỉ (I) và (III)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   $\int \frac{xdx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+4)}{x^2+4}=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+C$
   $\int e^{2\cos x}\sin xdx=–\int e^{2\cos x}d\left(\cos x\right)=–\frac{1}{2}{e}^{2\cos x}+C$
   $\int cotxdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{d\left(\sin x\right)}{\sin x}=\ln \left|\sin x\right|+C\ne –\frac{1}{{\sin }^{2}x}+C$
   Vậy chỉ có (I) và (III) đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====