Câu hỏi:
Số nghiệm của phương trình \({e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020}} = \ln \left( {{x^2} – 2} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} – x + 2018\) là
A. \(4\).
Đáp án chính xác
B. \(2\).
C. \(0\).
D. \(3\).
Trả lời:
\({e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020}} = \ln \left( {{x^2} – 2} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} – x + 2018{\rm{ }}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020}} + \frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020 = \ln \left( {{x^2} – 2} \right) + {x^2} – 2\)
\( \Leftrightarrow {e^{\frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020}} + \frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020 = {e^{\ln \left( {{x^2} – 2} \right)}} + {x^2} – 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {e^t} + t,t \in \mathbb{R}\)
Ta có \(f’\left( t \right) = {e^t} + 1 >0,\forall t \in \mathbb{R}.\) Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020} \right) = f\left( {\ln \left( {{x^2} – 2} \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020 = \ln \left( {{x^2} – 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} – x – 2020 – \ln \left( {{x^2} – 2} \right) = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\)
Xét hàm số:
\(g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + x – 2020 – \ln \left( {{x^2} – 2} \right),\left[ \begin{array}{l}x >\sqrt 2 \\x < – \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow g’\left( x \right) = x + 1 – \frac{{2x}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{{x^3} + {x^2} – 4x – 2}}{{{x^2} – 2}}\)
Xét \(h\left( x \right) = {x^3} + {x^2} – 4x – 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có:
\(h\left( { – 3} \right) = – 8;h\left( { – 2} \right) = 2;h\left( { – 1} \right) = 2;h\left( 0 \right) = – 2;h\left( {\sqrt 3 } \right) = 1 – \sqrt 3 ;h\left( 2 \right) = 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}h\left( { – 3} \right).h\left( { – 2} \right) < 0\\h\left( { – 1} \right).h\left( 0 \right) < 0\\h\left( {\sqrt 3 } \right).h\left( 2 \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( { – 3; – 2} \right)\\x = b \in \left( { – 1;0} \right)\\x = c \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ – }} g\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} g\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \)
Bảng biến thiên hàm số \(g\left( x \right)\)
Từ bảng biến thiên ta có:
Với \(\) suy ra \(g\left( a \right) < g\left( { – 3} \right) = \frac{9}{2} – 3 – 2020 – \ln 7 < 0\)
Với \(c \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\) suy ra \(g\left( c \right) < g\left( {\sqrt 3 } \right) = \frac{3}{2} + \sqrt 3 – 2020 < 0\)
Do đó phương trình \(\left( 3 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án A
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?
Câu hỏi:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?
A. \(y = 2{x^4} – {x^2} + 1\).
Đáp án chính xác
B. \(y = – {x^4} + {x^2} + 1\).
C. \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1\).
D. \(y = {x^4} – 2{x^2} + 1\).
Trả lời:
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị trên là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có bề lõm hướng xuống nên hệ số \(a < 0\) nên loại đáp án A và D.
Xét điểm \(\left( {1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số trên.
Thay \(\left( {1;2} \right)\) vào \(y = – {x^4} + {x^2} + 1\) ta được 2 =1 (vô lý).
Thay \(\left( {1;2} \right)\) vào \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1\) ta được 2 = 2 (đúng).
Nên đồ thị trong hình vẽ trên là đồ thị của hàm số \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Đáp án A====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Số nghiệm của phương trình\(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + 1}} = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;2020\pi } \right]\) là
Câu hỏi:
Số nghiệm của phương trình\(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + 1}} = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;2020\pi } \right]\) là
A. \(3030\)
B. 2020
C. 3031
Đáp án chính xác
D. 4040
Trả lời:
Điều kiện: \(\cos x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + l2\pi \left( {l \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có:
\(\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + m\pi \left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\\x = n2\pi \left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\\x = \pi + p2\pi \left( {p \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\)
So lại với điều kiện, phương trình có họ nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + m\pi \left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\\x = n2\pi \left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right..\)
Xét \(0 \le \frac{\pi }{2} + m\pi \le 2020\pi \Leftrightarrow – \frac{\pi }{2} \le m\pi \le \frac{{4039}}{2}\pi \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le m \le \frac{{4039}}{2}.\) Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên có 2002 giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài.
Xét \(0 \le n2\pi \le 2020\pi \Leftrightarrow 0 \le n\pi \le 1010.\) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên có 1011 giá trị \(n\) thỏa mãn đề bài.
Vậy phương trình có tổng cộng 3031 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2020\pi } \right].\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Số nghiệm của phương trình \({\log _4}\left( {3{x^2} + x} \right) = \frac{1}{2}\) là
Câu hỏi:
Số nghiệm của phương trình \({\log _4}\left( {3{x^2} + x} \right) = \frac{1}{2}\) là
A. \(1\).
B. \(5\).
C. \(0\).
D. \(2\).
Đáp án chính xác
Trả lời:
Ta có \({\log _4}\left( {3{x^2} + x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3{x^2} + x = 2\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + x – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – \frac{2}{3}\end{array} \right..\)
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Đáp án D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Với \(a\) là số thực dương khác \(1\) tùy ý, \({\log _{{a^5}}}{a^4}\) bằng
Câu hỏi:
Với \(a\) là số thực dương khác \(1\) tùy ý, \({\log _{{a^5}}}{a^4}\) bằng
A. \(\frac{1}{5}\).
B. \(\frac{4}{5}\).
Đáp án chính xác
C. \(20\).
D. \(\frac{5}{4}\).
Trả lời:
Ta có \({\log _{{a^5}}}{a^4} = \frac{4}{5}{\log _a}a = \frac{4}{5}.\)
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Khối chóp có một nửa diện tích đáy là \(S\), chiều cao là \(2h\) thì có thể tích là:
Câu hỏi:
Khối chóp có một nửa diện tích đáy là \(S\), chiều cao là \(2h\) thì có thể tích là:
A. \(V = \frac{1}{2}S.h\).
B. \(V = \frac{1}{3}S.h\).
C. \(V = S.h\).
D. \(V = \frac{4}{3}S.h\).
Đáp án chính xác
Trả lời:
Áp dụng công thức thể tích khối chóp ta có: \(V = \frac{1}{3}.2S.2h = \frac{4}{3}S.h\)
Vậy chọn đáp án D.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====