Câu hỏi:
Nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}dx} \) là:
A. \(\arcsin \frac{x}{2} – \frac{{x\sqrt {4 – {x^2}} }}{4} + C\)
B. \(2\arccos \frac{x}{2} – \frac{{x\sqrt {4 – {x^2}} }}{2} + C\)
C. \(\arccos \frac{x}{2} – \frac{{x\sqrt {4 – {x^2}} }}{4} + C\)
D. \(2\arcsin \frac{x}{2} – \frac{{x\sqrt {4 – {x^2}} }}{2} + C\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left( {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Ta có \(\cos t > 0\) và \(dx = 2\cos tdt\).
Khi đó \(I = \int {\frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} }}2\cos tdt} = \int {4{{\sin }^2}tdt} \) (vì \(\cos t > 0,\forall t \in \left( {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)).
Suy ra \(I = 2\int {\left( {1 – \cos 2t} \right)dt} = 2t – \sin 2t + C\)
Từ \(x = 2\sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{2}\) và \(\sin 2t = 2\sin t.\cos t = \frac{{x\sqrt {4 – {x^2}} }}{2}\)
Vậy \(I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} – \frac{{x\sqrt {4 – {x^2}} }}{2} + C\)
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====