Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tỉ số hr sao cho chi phí vật liệu Sản xuất  thùng là nhỏ nhất là bao nhiêu?

Câu hỏi:

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tỉ số $\frac{h}{r}$ sao cho chi phí vật liệu Sản xuất  thùng là nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. $\frac{h}{r}=\sqrt{2}$

B. $\frac{h}{r}=2$

C. $\frac{h}{r}=6$

Đáp án chính xác

D. $\frac{h}{r}=3\sqrt{2}$

Trả lời:

Chọn C

Ta có $V=\pi h\cdot r^2\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}\Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{V}{\pi r^3}$
Giá thành vật liệu để làm chiếc thùng là $T=\left(2\pi rh+6\pi r^2\right)\cdot A=\left(\frac{2V}{r}+6\pi \cdot r^2\right)\cdot A=\left(\frac{V}{r}+\frac{V}{r}+6\pi r^2\right)\cdot A,$ trong đó A là giá của một đơn vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh của thùng. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương $\frac{V}{r},\frac{V}{r},6\pi r^2$ được $T\ge 36\pi V^{2}3$
Dấu “= ” xảy ra khi $\frac{V}{r}=6\pi r^2\iff \frac{V}{\pi r^3}=6$
Vậy chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất khi $\frac{h}{r}=6$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====