Dynano là một nhà ảo thuật gia đại tài người Anh nhưng người ta thường nói Dynano làm ma thuật chứ không phải làm ảo thuật. Bất kì màn trình diễn nào của anh chàng trẻ tuổi tài cao này khiến người xem kinh ngạc vì nó vượt qua giới hạn khoa học. Một lần đến NewYork anh ngẫu hứng trình diễn khả năng bay lơ lửng trong không trung của mình bằng cách di chuyển từ tòa nhà này đến tòa nhà khác và trong quá trình di chuyển đó có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng cách giữa hai tòa nhà (biết mọi di chuyển của anh đều là đường thẳng). Biết tòa nhà ban đầu Dynano đứng có chiều cao là a(m), tòa nhà sau đó Dynano đến có chiều cao là b(m) (a < b) và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c(m). Vị trí đáp đất cách tòa nhà thứ nhất là một đoạn là x(m). Hỏi x bằng bao nhiêu quãng đường di chuyển của Dynano là bé nhất?

Câu hỏi:

Dynano là một nhà ảo thuật gia đại tài người Anh nhưng người ta thường nói Dynano làm ma thuật chứ không phải làm ảo thuật. Bất kì màn trình diễn nào của anh chàng trẻ tuổi tài cao này khiến người xem kinh ngạc vì nó vượt qua giới hạn khoa học. Một lần đến NewYork anh ngẫu hứng trình diễn khả năng bay lơ lửng trong không trung của mình bằng cách di chuyển từ tòa nhà này đến tòa nhà khác và trong quá trình di chuyển đó có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng cách giữa hai tòa nhà (biết mọi di chuyển của anh đều là đường thẳng). Biết tòa nhà ban đầu Dynano đứng có chiều cao là a(m), tòa nhà sau đó Dynano đến có chiều cao là b(m) (a < b) và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c(m). Vị trí đáp đất cách tòa nhà thứ nhất là một đoạn là x(m). Hỏi x bằng bao nhiêu quãng đường di chuyển của Dynano là bé nhất?

A.$x=\frac{3ac}{a+b}.$

B.$x=\frac{ac}{3\left(a+b\right)}.$

C.$x=\frac{ac}{a+b}.$

Đáp án chính xác

D.$x=\frac{ac}{2\left(a+b\right)}.$

Trả lời:

Đáp án C.Màn biểu diễn của Dynano được biểu diễn theo mô hình bênCách 1: Áp dụng kiến thức “Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số”Ta có  $AB=c,AC=a,AD=b,AM=x.$Khi đó $CM=\sqrt{A{C}^2+A{M}^2}=\sqrt{x^2+a^2}$Và$\begin{array}{l}MD=\sqrt{B{M}^2+B{D}^2}\\ =\sqrt{{(c-x)}^2+b^2}\\ =\sqrt{x^2-2cx+b^2+c^2}\end{array}$ Như vậy quãng đường di chuyển của Dynano là $\begin{array}{l}T=CM+MD\\ =\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2-2cx+b^2+c^2}\\ (0<x<c).\end{array}$Xét hàm số $\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2-2cx+b^2+c^2}$trên $(0;c).$ Đạo hàm $f‘\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{x-c}{\sqrt{x^2-2cx+b^2+c^2}}=0$ $\begin{array}{l}\iff x\sqrt{x^2-2cx+b^2+c^2}\\ =(c-x)\sqrt{x^2+a^2}\\ \iff x^2\left({\left(c-x\right)}^2+b^2\right)\\ ={\left(c-x\right)}^2\left(x^2+a^2\right)\end{array}$ $\begin{array}{l}\iff x^2{b}^2={\left(c–x\right)}^2{a}^2\\ \iff bx=(c-x)a\\ \iff x=\frac{ac}{a+b}\in (0;c).\end{array}$Lập bảng biến thiên tìm ta được f(x)  đạt nhỏ nhất khi  $x=\frac{ac}{a+b}.$Cách 2: Dùng kiến thức hình họcGọi D’ là điểm đối xứng với D qua AB. Khi đó $MC+MD=MC+MD‘\ge CD‘$ . Do vậy ${(MC+MD)}_{\min }=CD‘$ . Dấu =  xảy ra khi $M\in CD‘$ hay $M=CD‘\cap AB$ .Khi đó $\Delta AMC\backsim △BMD‘$ $\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BD‘}\\ \iff \frac{x}{c-x}=\frac{a}{b}\\ \iff x=\frac{ac}{a+b}\end{array}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số y=f(x). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số y=f(x). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

   A. $f‘\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in (a;b)\Rightarrow f\left(x\right) đồng biến trên (a;b).$

   Đáp án chính xác

   B.$f‘\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in (a;b)\Rightarrow f\left(x\right) đồng biến trên đoạn \text{[}a;b].$

   C. f(x) Đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)\iff f‘\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in (a;b).$

   D. f(x) nghịch biến trên $\left(a;b\right)\iff f‘\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in (a;b).$

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Theo định lý trong SGK cơ bản 12 trang 6, ta có “ Nếu f ‘ (x) với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên  K’’. Vậy đáp án A đúng
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=3x+2x+1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}.$

   A. x = -1

   B. x=1

   C. y=3

   Đáp án chính xác

   D. y=2

   Trả lời:

   Đáp án C.Đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ có đường tiệm cận đứng là x = – 1, đường tiện cận ngang y =3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=x4−4×2+4 đạt cực tiểu tại những điểm nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=x^4-4x^2+4$ đạt cực tiểu tại những điểm nào?

   A.$x=\pm \sqrt{2};x=0.$

   B.$x=\pm \sqrt{2}.$

   Đáp án chính xác

   C.$x=\sqrt{2};x=0.$

   D.$x=-\sqrt{2}.$

   Trả lời:

   Đáp án BTa có $\begin{array}{l}y‘=4x^3-8x=4x(x^2-2);\\ y‘=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}$ Ta thấy hệ số a = 1 > 0 nên đồ thị hàm số có dạng chữ W. Lập bảng biến thiên, ta xác định các điểm cực tiểu có hàm số là $x=\pm \sqrt{2}.$  

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f(x)=2(m+1)x3+2mx3−2(m+1)x−2m, (m là tham số khác −34) và g(x)=−x4+x2 là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $f\left(x\right)=2(m+1)x^3+2m{x}^3-2(m+1)x-2m$, (m là tham số khác $-\frac{3}{4}$) và $g\left(x\right)=-x^4+x^2$ là 

   A.3

   B.4

   Đáp án chính xác

   C.2

   D.1

   Trả lời:

   Đáp án BPhương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là:$\begin{array}{l}2(m+1)x^3+2m{x}^3-2(m+1)x\\ -2m=-x^4+x^2\\ \iff x^2(x^2-1)+2m(x^3+x^2-x-1)\\ +(2x^3-2x)=0\\ \iff x^2(x^2-1)+2m(x+1)(x^2-1)\\ +2x(x^2-1)=0\\ \iff (x^2-1)+(x^2+2(m+1)x+2m)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=1\iff x=\pm 1\\ g\left(x\right)=x^2+2(m+1)x+2m=0(*)\end{array}\right.\end{array}$ Xét  $\left\{\begin{array}{l}g(-1)=1-2(m+1)+2m=-1\ne 0\\ g\left(1\right)=1+2(m+1)+2m=4m+3\ne \mathrm{0,}\\ \left(\text{do }m\ne -\frac{3}{4}\right)\\ \Delta {‘}_{(*)}={\left(m+1\right)}^2-2m=m^2+1>0\\ \forall m\in ℝ\end{array}\right.$Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$, với $m\ne -\frac{3}{4}.$Vậy hai đồ thị f(x) và g(x) cắt nhau tại 4 điểm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a23&gt;a35 và logb23&lt;logb35. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số thực dương a,b thỏa mãn $a^{\frac{2}{3}}>a^{\frac{3}{5}}$ và ${\log }_b\frac{2}{3}<{\log }_b\frac{3}{5}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A.$0<{\log }_{a}b<1.$

   B.${\log }_{a}b>1.$

   C.${\log }_{b}a<0.$

   Đáp án chính xác

   D.$0<{\log }_{b}a<1.$

   Trả lời:

   Đáp án CCách 1: Tư duy tự luậnTa có $\left\{\begin{array}{l}{a}^{\frac{2}{3}}>a^{\frac{3}{5}}\\ \frac{2}{3}>\frac{3}{5}\end{array}\right.\Rightarrow a>1$ và $\left\{\begin{array}{l}{\log }_b\frac{2}{3}<{\log }_b\frac{3}{5}.\\ \frac{2}{3}>\frac{3}{5}\end{array}\right.\Rightarrow 0<b<1.$ Vậy  $\left\{\begin{array}{l}{\log }_{a}b<0\\ {\log }_{b}a<0\end{array}\right.$Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayChọn các giá trị $\begin{array}{l}a=\mathrm{0,5}\in \left(0;1\right);\\ a=\mathrm{1,5}\in (1;+\infty );\\ b=\mathrm{0,3}\in (0;1);\\ b=\mathrm{1,3}\in (1;+\infty )\end{array}$ Ta chọn được các giá trị a =1,5 và b = 0,3 thỏa mãn điều kiện. Ấn tiếp Vậy ${\log }_{a}B<0$ và ${\log }_{b}a<0.$ 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====