Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), đáy ABC thỏa mãn điều kiện:cotA+cotB+cotC2=BCAB.AC+CABA.BC+ABCA.CB.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có $AD\perp \left(ABC\right)$, đáy ABC thỏa mãn điều kiện:$\begin{array}{l}\frac{\cot A+\cot B+\cot C}{2}\\ =\frac{BC}{AB.AC}+\frac{CA}{BA.BC}+\frac{AB}{CA.CB}.\end{array}$Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK

A.$V=\frac{4\pi }{3}.$

B.$V=\frac{32\pi }{3}.$

Đáp án chính xác

C.$V=\frac{8\pi }{3}.$

D.$V=\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}.$

Trả lời:

Đáp án B.*Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHKGọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt vuông góc với AC và AB tại E, F. Do $DA\perp d,DA\perp d‘$ (do$DA\perp \left(ABC\right)$) nên $d\perp \left(DAC\right),d‘\perp \left(DAB\right).$ Gọi I là giao điểm của d, d’ thì I chính là tâm của mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, AKC. Hay nói cách khác, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK, bán kính R = IA cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$  (do IA = IB = IC).*Một số hệ thức cần nhớ trong tam giácCho $\Delta ABC,$ gọi AH là đường cao $H\in BC.$  R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giac, p là nửa chu vi. Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c, diện tích $S_{\Delta ABC}=S.$ 1. Định lý cosin: $\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A;\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B;\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\end{array}$2. Định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$ 3. Độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C (Kí hiệu lần lượt là $m_a,m_b,m_c$):$\begin{array}{l}{m_a}^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4};\\ {m_b}^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4};\\ {m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}.\end{array}$
4. Các công thức tính diện tích tam giác:$\left\{\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\\ S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C\\ S=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\end{array}\right..$
5. Định lý tang: $\begin{array}{l}\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}};\\ \frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan \frac{B-C}{2}}{\tan \frac{B+C}{2}};\\ \frac{c-a}{c+a}=\frac{\tan \frac{C-A}{2}}{\tan \frac{C+A}{2}}.\end{array}$6. Định lý cotang:  $\begin{array}{l}\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S};\\ \cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S};\\ \cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}.\\ \to \cot A+\cot B+\cot C\\ =\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}.\end{array}$*Phân tích dữ kiện đề bài: $\begin{array}{l}\frac{\cot A+\cot B+\cot C}{2}\\ =\frac{BC}{AB.AC}+\frac{CA}{BA.BC}+\frac{AB}{CA.CB}\\ \iff \frac{A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2}{8S_{\Delta ABC}}\\ =\frac{B{C}^2+C{A}^2+A{B}^2}{AB.AC.BC}\\ \iff 8S_{\Delta ABC}=AB.AC.BC\\ \iff 8.\frac{AB.AC.BC}{4R}=AB.AC.BC\\ \iff R=2=IA.\end{array}$Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK là:$\begin{array}{l}V=\frac{4}{3}\pi R^3\\ =\frac{4}{3}\pi 2^3=\frac{32\pi }{3}\end{array}$ (đvtt).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số y=f(x). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số y=f(x). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

   A. $f‘\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in (a;b)\Rightarrow f\left(x\right) đồng biến trên (a;b).$

   Đáp án chính xác

   B.$f‘\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in (a;b)\Rightarrow f\left(x\right) đồng biến trên đoạn \text{[}a;b].$

   C. f(x) Đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)\iff f‘\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in (a;b).$

   D. f(x) nghịch biến trên $\left(a;b\right)\iff f‘\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in (a;b).$

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Theo định lý trong SGK cơ bản 12 trang 6, ta có “ Nếu f ‘ (x) với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên  K’’. Vậy đáp án A đúng
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=3x+2x+1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}.$

   A. x = -1

   B. x=1

   C. y=3

   Đáp án chính xác

   D. y=2

   Trả lời:

   Đáp án C.Đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ có đường tiệm cận đứng là x = – 1, đường tiện cận ngang y =3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=x4−4×2+4 đạt cực tiểu tại những điểm nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=x^4-4x^2+4$ đạt cực tiểu tại những điểm nào?

   A.$x=\pm \sqrt{2};x=0.$

   B.$x=\pm \sqrt{2}.$

   Đáp án chính xác

   C.$x=\sqrt{2};x=0.$

   D.$x=-\sqrt{2}.$

   Trả lời:

   Đáp án BTa có $\begin{array}{l}y‘=4x^3-8x=4x(x^2-2);\\ y‘=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}$ Ta thấy hệ số a = 1 > 0 nên đồ thị hàm số có dạng chữ W. Lập bảng biến thiên, ta xác định các điểm cực tiểu có hàm số là $x=\pm \sqrt{2}.$  

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f(x)=2(m+1)x3+2mx3−2(m+1)x−2m, (m là tham số khác −34) và g(x)=−x4+x2 là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $f\left(x\right)=2(m+1)x^3+2m{x}^3-2(m+1)x-2m$, (m là tham số khác $-\frac{3}{4}$) và $g\left(x\right)=-x^4+x^2$ là 

   A.3

   B.4

   Đáp án chính xác

   C.2

   D.1

   Trả lời:

   Đáp án BPhương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là:$\begin{array}{l}2(m+1)x^3+2m{x}^3-2(m+1)x\\ -2m=-x^4+x^2\\ \iff x^2(x^2-1)+2m(x^3+x^2-x-1)\\ +(2x^3-2x)=0\\ \iff x^2(x^2-1)+2m(x+1)(x^2-1)\\ +2x(x^2-1)=0\\ \iff (x^2-1)+(x^2+2(m+1)x+2m)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=1\iff x=\pm 1\\ g\left(x\right)=x^2+2(m+1)x+2m=0(*)\end{array}\right.\end{array}$ Xét  $\left\{\begin{array}{l}g(-1)=1-2(m+1)+2m=-1\ne 0\\ g\left(1\right)=1+2(m+1)+2m=4m+3\ne \mathrm{0,}\\ \left(\text{do }m\ne -\frac{3}{4}\right)\\ \Delta {‘}_{(*)}={\left(m+1\right)}^2-2m=m^2+1>0\\ \forall m\in ℝ\end{array}\right.$Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$, với $m\ne -\frac{3}{4}.$Vậy hai đồ thị f(x) và g(x) cắt nhau tại 4 điểm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a23>a35 và logb23<logb35. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số thực dương a,b thỏa mãn $a^{\frac{2}{3}}>a^{\frac{3}{5}}$ và ${\log }_b\frac{2}{3}<{\log }_b\frac{3}{5}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A.$0<{\log }_{a}b<1.$

   B.${\log }_{a}b>1.$

   C.${\log }_{b}a<0.$

   Đáp án chính xác

   D.$0<{\log }_{b}a<1.$

   Trả lời:

   Đáp án CCách 1: Tư duy tự luậnTa có $\left\{\begin{array}{l}{a}^{\frac{2}{3}}>a^{\frac{3}{5}}\\ \frac{2}{3}>\frac{3}{5}\end{array}\right.\Rightarrow a>1$ và $\left\{\begin{array}{l}{\log }_b\frac{2}{3}<{\log }_b\frac{3}{5}.\\ \frac{2}{3}>\frac{3}{5}\end{array}\right.\Rightarrow 0<b<1.$ Vậy  $\left\{\begin{array}{l}{\log }_{a}b<0\\ {\log }_{b}a<0\end{array}\right.$Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayChọn các giá trị $\begin{array}{l}a=\mathrm{0,5}\in \left(0;1\right);\\ a=\mathrm{1,5}\in (1;+\infty );\\ b=\mathrm{0,3}\in (0;1);\\ b=\mathrm{1,3}\in (1;+\infty )\end{array}$ Ta chọn được các giá trị a =1,5 và b = 0,3 thỏa mãn điều kiện. Ấn tiếp Vậy ${\log }_{a}B<0$ và ${\log }_{b}a<0.$ 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====