Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là r=23, độ dài đường sinh l=2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khí cắt hình quạt theo hình chử nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?

Câu hỏi:

Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là r=$\frac{2}{3}$, độ dài đường sinh l=2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khí cắt hình quạt theo hình chử nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3\mathrm{\pi }\left(\sqrt{13}–1\right)}{8}$

B. $\frac{3\left(\sqrt{13}–1\right)}{8\mathrm{\pi }}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{5\left(\sqrt{13}–1\right)}{12\mathrm{\pi }}$

D. $\frac{\mathrm{\pi }\left(\sqrt{13}–1\right)}{9}$

Trả lời:

Đáp án B.Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại H,F,D,E Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên$l_{AB}=2\mathrm{\pi r}=2\mathrm{\pi }.\frac{2}{3}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$Lại có $l_{ab}=\alpha .OA\Rightarrow \alpha =\frac{l_{ab}}{OA}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}:2=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}=\stackrel{⏜}{AOB}$Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2–2.OA.OB.\cos \stackrel{⏜}{AOB}}=\sqrt{2^2+2^2–2.2^2\left(–\frac{1}{2}\right)}=2\sqrt{3}$Do M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB nên $\stackrel{⏜}{AOB}\Rightarrow \stackrel{⏜}{AOD}=60°$$\Rightarrow MH=\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{3}}{2}$Do $OD\perp AB$ nên OD là tia phân giác của $\stackrel{⏜}{AOB}\Rightarrow \stackrel{⏜}{AOD}=60°$. Xét tam giác vuông OMH có $OH=OM.\cos 60=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$Xét tam giác OPQ có $\cos \stackrel{⏜}{POQ}=\frac{O{P}^2+O{Q}^2–P{Q}^2}{2.OP.OQ}=\frac{2^2+2^2–{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{2.2.2}=\frac{5}{8}$Mà $\cos \stackrel{⏜}{POQ}=\cos \left(2\stackrel{⏜}{DOQ}\right)=2{\cos }^2\stackrel{⏜}{DOQ}–1=\frac{5}{8}\Rightarrow \cos \stackrel{⏜}{DOQ}=\frac{\sqrt{13}}{4}$Xét tam giác DOQ có:$Q{D}^2+O{Q}^2+O{D}^2–2.OQ.OD.\cos \stackrel{⏜}{DOQ}=8–2\sqrt{13}$Xét tam giác vuông DQF có$D{F}^2=Q{D}^2–Q{F}^2=\left(8–2\sqrt{13}\right)–{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{29}{4}–2\sqrt{13}$$\Rightarrow DF=\frac{\sqrt{29–8\sqrt{13}}}{2}=\frac{\sqrt{{\left(4–\sqrt{13}\right)}^2}}{2}=\frac{4–\sqrt{13}}{2}$$\Rightarrow HF=OD–OH–DF=2–\frac{1}{2}–\frac{4–\sqrt{13}}{2}=\frac{\sqrt{13}–1}{2}=MQ–NP$Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên $PQ=2\mathrm{\pi R}\to \mathrm{R}=\frac{\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi }}$ Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:$V={\mathrm{\pi R}}^2.\mathrm{MQ}=\mathrm{\pi }{\left(\frac{\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi }}\right)}^2.\frac{\sqrt{13}–1}{2}=\frac{3\left(\sqrt{13}–1\right)}{8\mathrm{\pi }}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính giới hạn hàm số limx→01+4×3-1x. Chọn kết quả đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giới hạn hàm số $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+4x}–1}{x}$. Chọn kết quả đúng:

   A. 0

   B. $\frac{4}{3}$

   Đáp án chính xác

   C. $–\infty$

   D. $+\infty$

   Trả lời:

   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ ?

   A. $y=x^3–x^2+2x+3$

   Đáp án chính xác

   B. $y=x^3–x^2–3x+1$

   C. $y=\frac{1}{4}{x}^4+x^2–2$

   D. $y=\frac{x–1}{x–2}$

   Trả lời:

   Đáp án A.* Phương án A: Hàm số $y=x^3–x^2+2x+3$ có tập xác định là $\mathrm{ℝ}$ và đạo hàm $3x^2–2x+2>0,\forall x\in \mathrm{ℝ}$ nên luôn đồng biến trên .* Phương án B: Hàm số $y=x^3–x^2–3x+1$ có tập xác định là $\mathrm{ℝ}$ và đạo hàm $3x^2–2x–3$. Phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ nên hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng $\left(–\infty ;x_1\right),\left(x_2;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(x_1;x_2\right)$.* Phương án C: Hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^4+x^2–2$ có tập xác định là $\mathrm{ℝ}$, đạo hàm $y‘=x^3+2x$ và phương trình $y‘=0$ có một nghiệm x = 0 nên hàm số luôn đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(–\infty ;0\right)$.* Phương án D: Hàm số $y=\frac{x–1}{x–2}$ có tập xác định $\mathrm{ℝ} \backslash \left\{2\right\}$ và đạo hàm $y‘=\frac{–1}{{\left(x–2\right)}^2}<0,\forall x\not\equiv 2$ nên hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(–\infty ;2\right)$và $\left(2;+\infty \right)$. 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=mx+1 cắt đồ thị hàm số y=x-3x+1  tạo hai điểm phân biệt là  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=mx+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x–3}{x+1}$  tạo hai điểm phân biệt là  

   A. $(–\infty ;0]\cup [16;+\infty )$

   B. $(–\infty ;0)\cup (16;+\infty )$

   Đáp án chính xác

   C.$(16;+\infty )$

   D. $\left(–\infty ;0\right)$

   Trả lời:

   Đáp án B.Phương trình hoành độ giao điểm:  $mx+1=\frac{x–3}{x+1}\iff \left\{\begin{array}{l}x\not\equiv 1\\ \left(mx+1\right)\left(x+1\right)=x–3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\not\equiv –1\\ m{x}^2+mx+4=0 (*)\end{array}\right.$Để đường thẳng $y=mx+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x–3}{x+1}$ tạo hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác -1$\iff \left\{\begin{array}{l}m{(–1)}^2+m.(–1)+4\not\equiv 0\\ ∆=m^2–16m>0\end{array}\right.\iff m(m–16)>0\iff \left\{\begin{array}{l}m>16\\ m<0\end{array}\right.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho logab=3. Tính giá trị của biểu thức P=logbaba 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ${\log }_{a}b=\sqrt{3}$. Tính giá trị của biểu thức $P={\log }_{\frac{\sqrt{b}}{a}}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ 

   A. $P=\frac{\sqrt{3}–1}{\sqrt{3}–2}$

   Đáp án chính xác

   B. $P=\sqrt{3}+1$

   C. $P=\frac{\sqrt{3}–1}{\sqrt{3}+2}$

   D. $P=\sqrt{3}–1$

   Trả lời:

   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Phần thực của số phức z=2-i2 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phần thực của số phức $z={\left(2–i\right)}^2$ bằng:

   A. 3

   Đáp án chính xác

   B. -1

   C. 2

   D. 5

   Trả lời:

   Đáp án A.Ta có $z={\left(2–i\right)}^2=4–4i+i^2=3–4i$ có phần thực bằng 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====