Cho số phức z=x+yi x,y∈ℝ thỏa mãn z¯+2−3i≤z−2+i≤5. Gọi m, M  lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+8x+6y. Giá trị m + M  là

Câu hỏi:

Cho số phức $z=x+yi \left(x,y\in ℝ\right)$ thỏa mãn $\left|\overline{z}+2-3i\right|\le \left|z-2+i\right|\le 5$. Gọi m, M  lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+8x+6y$. Giá trị m + M  là

A. $60-20\sqrt{10}$

Đáp án chính xác

B. $44-20\sqrt{10}$

C. $\frac{9}{5}$

D. $52-20\sqrt{10}$

Trả lời:

Chọn A

Gọi N(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi
Ta có $\left|\overline{z}+2-3i\right|\le \left|z-2+i\right|\iff 2x+y+2\le 0$
$\left|z-2+i\right|\le 5\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2\le 25$ (hình tròn tâm I(2;-1)  bán kính $r=5$);
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  thỏa mãn điều kiện $\left|\overline{z}+2-3i\right|\le \left|z-2+i\right|\le 5$ thuộc miền (T) (xem hình vẽ với $A\left(-2;2\right),B\left(2;-6\right)$).
Ta có $P+25={\left(x+4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2$
$\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{\left(x+4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2}=NJ$ (với J(-4;-3) ) .
Bài toán trở thành tìm điểm N  thuộc miền (T)  sao cho NJ  đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có $IJ-r\le NJ\le JB\iff 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\iff 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$P đạt giá trị nhỏ nhất khi N là giao điểm của đường thẳng JI với đường tròn tâm I(2;-1)  bán kính r = 5 và $NJ=2\sqrt{10}-5$
P đạt giá trị lớn nhất khi $N\equiv B$
Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====