Cho số phức z thỏa mãn z2-2z+5=z-1+2iz+3i-1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=w với w=z-2+2i.

Câu hỏi:

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z^2–2z+5\right|=\left|\left(z–1+2i\right)\left(z+3i–1\right)\right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\left|w\right|$ với $w=z–2+2i$.

A. $P_{min}=\frac{3}{2}$.

B. $P_{min}=2$.

C. $P_{min}=1$.

Đáp án chính xác

D. $P_{min}=\frac{1}{2}$.

Trả lời:

Đáp án cần chọn là: CTa có: $\left|z^2–2z+5\right|=\left|\left(z–1+2i\right)\left(z+3i–1\right)\right|$$\iff \left|{\left(z–1\right)}^2+4\right|=\left|\left(z–1+2i\right)\left(z+3i–1\right)\right|\iff \left|{\left(z–1\right)}^2–{\left(2i\right)}^2\right|=\left|\left(z–1+2i\right)\left(z+3i–1\right)\right|\iff \left|\left(z–1+2i\right)\left(z–1–2i\right)\right|=\left|\left(z–1+2i\right)\left(z+3i–1\right)\right|\iff \begin{array}{rcl}z–1+2i& =& 0\left(1\right)\\ \left|\left(z–1–2i\right)\right|& =& \left|\left(z+3i–1\right)\right|\left(2\right)\end{array}$Từ (1) $\Rightarrow z=1–2i\Rightarrow w=–1\Rightarrow P=\left|w\right|=1$.Xét (2). Gọi $z=x+yi(x,y\in R)$Ta có:$\left|\left(z–1–2i\right)\right|=\left|\left(z+3i–1\right)\right|\iff {\left(x–1\right)}^2+{\left(y–2\right)}^2={\left(x–1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2\iff y=\frac{–1}{2}$Khi đó $w=x–\frac{1}{2}i–2+2i=\left(x–2\right)+\frac{3}{2}i\Rightarrow P=\left|w\right|=\sqrt{{\left(x–2\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}\ge \frac{3}{2}>1$Vậy $P_{min}=1$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho ba số phức z1=4-3i, z2=1+2ii và z3=1-i1+icó điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy lần lượt là A, B, C. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm D thỏa ABCD là hình bình hành?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba số phức $z_1=4–3i, z_2=\left(1+2i\right)i$ và $z_3=\frac{1–i}{1+i}$có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy lần lượt là A, B, C. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm D thỏa ABCD là hình bình hành?

   A. $6–5i$.

   Đáp án chính xác

   B. $2–5i$.

   C. $4–2i$.

   D. $–6–4i$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của z, biết rằng z thỏa mãn điều kiện 4+2i1-iz-1=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$, biết rằng z thỏa mãn điều kiện $\left|\frac{4+2i}{1–i}z–1\right|=1$.

   A. $\sqrt{2}$.

   B. 0.

   Đáp án chính xác

   C. -1.

   D. $\sqrt{3}$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: B.Có: $\frac{4+2i}{1–i}=1+3i$. Đặt $z=x+yi$ thì:$\frac{4+2i}{1–i}z–1=\left(1+3i\right)\left(x+yi\right)–1=\left(x–3y–1\right)+\left(3x+y\right)i$Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành:${\left(x–3y–1\right)}^2+{\left(3x+y\right)}^2=1\iff {\left(x–3y\right)}^2–2\left(x–3y\right)+1+{\left(3x+y\right)}^2=1\iff 10x^2+10y^2–2x+6y=0\iff \left(x^2–\frac{1}{5}x\right)+\left(y^2+\frac{3}{5}y\right)=0\iff {\left(x–\frac{1}{10}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{10}\right)}^2=\frac{1}{10}(*)$Điểm biểu diễn $M(x;y)$ của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.Vì đường tròn này qua O nên min OM = 0 khi $M\equiv O$ hay M (0; 0), do đó $z=0$ hay $min\left|z\right|=0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Xét các số phức z, w thỏa mãn w-i=2, z+2=iw. Gọi z1, z2 lần lượt là các số phức mà tại đó z đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Mô đun z1+z2bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|w–i\right|=2, z+2=iw$. Gọi $z_1, z_2$ lần lượt là các số phức mà tại đó $\left|z\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Mô đun $\left|z_1+z_2\right|$bằng:

   A. $3\sqrt{2}$.

   B. 3.

   C. 6.

   Đáp án chính xác

   D. $6\sqrt{2}$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: C.Theo bài ra ta có:$z+2=iw\Rightarrow w=\frac{z+2}{i}\left|w–i\right|=2\Rightarrow \left|\frac{z+2}{i}–i\right|=2\iff \left|z+2+1\right|=2\iff \left|z+3\right|=2$Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $I(–3;0)$ bán kính R = 2.Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, dựa vào hình vẽ (bên dưới) ta có:$\left\{\begin{array}{l}{\left|z\right|}_{min}\iff O{M}_{min}\iff M(–1;0)\Rightarrow z_1=–1\\ {\left|z\right|}_{min}\iff O{M}_{max}\iff M(–5;0)\Rightarrow z_2=–5\end{array}\Rightarrow \left|z_1+z_2\right|=6\right.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm giá trị lớn nhất của z, biết rằng z thỏa mãn điều kiện -2-3i3-2iz+1=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất của $\left|z\right|$, biết rằng z thỏa mãn điều kiện $\left|\frac{–2–3i}{3–2i}z+1\right|=1$.

   A. $\sqrt{2}$.

   B. 1.

   C. 2.

   Đáp án chính xác

   D. 3.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: C.Có: $\frac{–2–3i}{3–2i}=–i$. Đặt $z=x+yi$ thì:$\frac{–2–3i}{3–2i}z+1=–i(x+yi)+1=(y+1)–xi$Điều kiện đã cho trong bài được viết thành ${\left(y+1\right)}^2+x^2=1$Điểm biểu diễn $M(x;y)$ của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I (0; – 1), bán kính bằng 1.Cần tìm điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn này để OM lớn nhấtVì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*) $\iff$ I là trung điểm của OM.$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2x_I\\ y=2y_I\end{array}\iff M(0;–2)\right.$Suy ra $z=–2i\iff \left|z\right|=2$Vậy $max\left|z\right|=2$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét các số phức z, w thỏa mãn z=2, iw-2+5i=1. Giá trị nhỏ nhất của z2-wz-4 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z\right|=2, \left|iw–2+5i\right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|z^2–wz–4\right|$ bằng:

   A. 4.

   B. $2\left(\sqrt{29}–3\right)$.

   C. 8.

   Đáp án chính xác

   D. $2\left(\sqrt{29}–5\right)$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: C.Theo bài ra ta có:$\left|z\right|=2\Rightarrow$tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I_1\left(0;0\right)$, bán kính $R_1=2$.Lại có: $\left|i\right|\left|w–\frac{2–5i}{i}\right|=1\iff \left|w–\left(–5–2i\right)\right|=1$$\Rightarrow$tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I_2\left(–5;–2\right)$ bán kính $R_2=1$.Đặt $T=\left|z^2–wz–4\right|=\left|z^2–wz–z\overline{z}\right|=\left|z\right|\left|z–w–\overline{z}\right|=2\left|z–w–\overline{z}\right|$.Đặt $z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \overline{z}=a–bi\Rightarrow z–\overline{z}=2bi$$\Rightarrow T=2\left|2bi–w\right|$.Gọi M(0;2b) là điểm biểu diễn số phức 2bi, N là điểm biểu diễn số phức w.$\Rightarrow T=2M{N}_{min}\iff M{N}_{min}$Do $\left|z\right|=2\Rightarrow a^2+b^2=4\iff –2\le b\le 2\iff –4\le 2b\le 4$$\Rightarrow$tập hợp các điểm M là đoạn AB với A(0; -4), B(0;4)Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N}_{min}=4\iff$N(-4; -2), M(0; 2)Vậy $T_{min}=2.4=8$. 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====