Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Hình trụ (H) có bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu. Thể tích khối trụ được tạo nên bởi (H) có thể tích lớn nhất khi r bằng

Câu hỏi:

Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Hình trụ (H) có bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu. Thể tích khối trụ được tạo nên bởi (H) có thể tích lớn nhất khi r bằng

A. $r=\sqrt{3}R.$

B. $r=\frac{\sqrt{2}}{2}R.$

Đáp án chính xác

C. $r=\sqrt{6}R.$

D. $r=\frac{\sqrt{6}}{3}R.$

Trả lời:

Đáp án B
Hình trụ nội tiếp trong mặt cầu có tâm đáy là E, có bán kính EA = r (0 < r < R), đường cao KE = 2EI.
Xét tam giác vuông IEA có $IE=\sqrt{I{A}^2-E{A}^2}=\sqrt{R^2-r^2}$
Thể tích của khối trụ là $V=h.\pi r^2=2IE.\pi r^2=2\pi r^2.\sqrt{R^2-r^2}$
Xét hàm số $y=r^2.\sqrt{R^2-r^2}$  với (0 < r < R)
Có $y‘=2r.\sqrt{R^2-r^2}+r^2.\frac{-2r}{2\sqrt{R^2-r^2}}=2r.\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{2r{R}^2-3r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}$
$y‘=0\iff 2r{R}^2-3r^3=0\iff r(2R^2-3r^2)=0\iff r=\frac{\sqrt{6}}{3}R.$

Bảng biến thiên

Nhìn Bảng biến thiên ta thấy $\iff y\ge y\left(\frac{\sqrt{6}}{3}R\right)\Rightarrow y_{\max }=y\left(\frac{\sqrt{6}}{3}R\right).$
Dấu bằng xảy ra $\iff r=\frac{\sqrt{6}}{3}R$ . Vậy thể tích hình trụ lớn nhất $\iff y_{\max }\iff r=\frac{\sqrt{6}}{3}R.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=f(x)  có bảng biến thiên Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên
   
   Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là

   A. 4

   B. 2

   Đáp án chính xác

   C. 3

   D. 1

   Trả lời:

   Đáp án B
   Tập xác định của hàm số $y=f\left(x\right)$  là $D=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;+\infty \right)$ .
   * $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  khi $x\to -\infty$ .
   *  $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \Rightarrow x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ khi $x\to -2^{+}$ .
   Vậy đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
   

   A. $y=-x^4+3x^2-2.$

   B. $y=-x^4+2x^2-1.$

   Đáp án chính xác

   C. $y=-x^4+x^2-1.$

   D. $y=-x^4+3x^2-3.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 nên loại hai đáp án A và D,
   Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên loại đáp án C. Do đó, đáp án chính xác là B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Rút gọn biểu thức P=a3−13+1a4−5.a5−2 ( với a > 0 và a≠1 ) ta được
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức $P=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{4-\sqrt{5}}.a^{\sqrt{5}-2}}$ ( với a > 0 và $a\ne 1$ ) ta được

   A. $P=2$

   B. $P= a^2$

   C. $P=1$

   Đáp án chính xác

   D. $P=a$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $P=\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{4-\sqrt{5}}.a^{\sqrt{5}-2}}=\frac{a^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}{a^{4-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2}}=\frac{a^2}{a^2}=1.$
   Trắc nghiệm.
   Nhập vào máy tính $\frac{{\left(A^{\sqrt{3}}–1\right)}^{\sqrt{3}+1}}{A^{4–\sqrt{5}}\times A^{\sqrt{5}–2}}$
   Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a > 0 và $a\ne 1$ và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A = 3. Khi đó ta có kết quả.
   $\frac{{\left(A^{\sqrt{3}}–1\right)}^{\sqrt{3}+1}}{A^{4–\sqrt{5}}\times A^{\sqrt{5}–2}}$
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tập xác định D của hàm số y=log2(x2−2x−3).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập xác định D của hàm số $y={\log }_2(x^2-2x-3)$.

   A. $D=\text{[}-1;3]$

   B. $D=(-1;3)$

   C. $D=(-\infty ;-1]\cup \text{[}3;+\infty ).$

   D. $D=(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty ).$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Hàm số xác định khi $x^2-2x-3>0\iff \left[\begin{array}{l}x<-1\\ x>3\end{array}\right.$
   Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(-\infty ;-1\right)\cup (3;+\infty ).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=1sin2x+π3 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}$ .

   A. $\int f\left(x\right)dx=-\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   Đáp án chính xác

   B. $\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{3}\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   C. $\int f\left(x\right)dx=\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   D. $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C.$

   Trả lời:

   Đáp án A
   $\int \frac{dx}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}=-\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+C$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====