Câu hỏi:
Cho \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x.{{\cos }^3}x}}} dx = a + b\ln 2 + c\ln \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị abc bằng
A. 0.
B. \( – 2.\)
C. \( – 4.\)
Đáp án chính xác
D. \( – 6.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x.{{\cos }^3}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x} \right)}}dx} \)
\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2 + \tan x + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2 + \tan x + {{\tan }^2}x}}{{\left( {1 + \tan x} \right)}}} d\left( {\tan x} \right)} \)
\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\tan x + \frac{2}{{\left( {1 + \tan x} \right)}}} \right)d\left( {\tan x} \right) = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2}} \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\frac{\pi }{4}}^{\scriptstyle\frac{\pi }{3}\atop\scriptstyle}} \right. + 2\ln \left| {\tan x + 1} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\)
\( = 1 – 2\ln 2 + 2\ln \left( {\sqrt 3 + 1} \right).\) Suy ra \(a = 1,b = – 2,c = 2\) nên \(abc = – 4.\)
Chọn C.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====