Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên SB,  SD lần lượt là H, K. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện  ACHK.

Câu hỏi:

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a,$ trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ tại $A$ ta lấy điểm $S$ di động không trùng với $A$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SD$ lần lượt là $H,K$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện  $ACHK$.

A. $\frac{a^3\sqrt{6}}{32}$

B. $\frac{a^3}{6}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Trả lời:

Chọn C

Ta sẽ sử dụng công thức $V=\frac{1}{6}a.b.d\left(a,b\right).\sin \left(a,b\right)$ (với a,b chéo nhau).
Đặt $SA=x\left(x>0\right)$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $S{A}^2=SH.SB\Rightarrow \frac{SH}{SB}=\frac{S{A}^2}{S{B}^2}=\frac{x^2}{x^2+a^2}$.
Mà $\frac{SK}{SD}=\frac{SH}{SB}=\frac{HK}{BD}\Rightarrow \frac{SK}{SD}=\frac{HK}{BD}=\frac{x^2}{x^2+a^2}\Rightarrow$$HK=\frac{x^{2}a\sqrt{2}}{a^2+x^2}$
Lại có $\frac{IH}{SA}=\frac{HB}{SB}=\frac{SB-SH}{SB}=1-\frac{SH}{SB}=1-\frac{x^2}{x^2+a^2}=\frac{a^2}{x^2+a^2}\Rightarrow$ $IH=\frac{a^{2}x}{a^2+x^2}$
Mặt khác ta có $AC$ và $HK$ chéo nhau và $HK//\left(ABCD\right);AC\subset \left(ABCD\right)$ nên $HI=d(KH,AC)$ và $AC\perp HK$
Khi đó $\cdot V_{ACBR}=\frac{1}{6}AC.KH.HI=\frac{1}{6}\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{x^{2}a\sqrt{2}}{a^2+x^2}\cdot \frac{a^{2}x}{a^2+x^2}=\frac{a^4}{3}\cdot \frac{x^3}{{\left(a^2+x^2\right)}^2}$
Xét hàm $f\left(x\right)=\frac{x^3}{{\left(x^2+a^2\right)}^2}$ trên $\left(0;+\infty \right)$ có $f^{‘}\left(x\right)=\frac{-x^6+2a^2{x}^4+3a^4{x}^2}{{\left(x^2+a^2\right)}^4}$
$\Rightarrow f^{‘}\left(x\right)=0$$\iff -x^6+2a^2{x}^4+3a^4{x}^2=0$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=0\left(L\right)\\ x^2=-a^2\left(VN\right)\\ x^2=3a^2\end{array}\right.$$\iff x=a\sqrt{3}$ (do $x>0$).

Bảng biến thiên

Suy ra $\underset{{}_{(0;+\infty )}}{\max }f\left(x\right)=\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$ khi $x=a\sqrt{3}$
Vậy thể tích khối tứ diện $ACHK$lớn nhất bằng $V_{\max }=\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho mặt cầu có bán kính R=3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho mặt cầu có bán kính $R=3.$ Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

   A. $9\pi$

   B. $36\pi$

   Đáp án chính xác

   C. $18\pi$

   D. $16\pi$

   Trả lời:

   Chọn B
   Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi {.3}^2=36\pi$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là

   A. $3$

   Đáp án chính xác

   B. $3\sqrt{3}$

   C. $27$

   D. $2$

   Trả lời:

   Chọn A
   Gọi cạnh của khối lập phương là $a$ ta có $a^3=27\iff a=3$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phương trình log2x+1=2 có nghiệm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phương trình ${\log }_2\left(x+1\right)=2$ có nghiệm là

   A. $x=-3$

   B. $x=1$

   C. $x=3$

   Đáp án chính xác

   D. $x=8$

   Trả lời:

   Chọn C
   ${\log }_2\left(x+1\right)=2\iff x+1=2^2\iff x+1=4\iff x=3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
   

   A. $y=x^3-3x-1$

   Đáp án chính xác

   B. $y=x^3-3x^2-3x-1$

   C. $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x-1$

   D. $y=x^3+3x^2-3x+1$

   Trả lời:

   Chọn A
   – Đồ thị đi qua điểm (0;-1) nên phương án D bị loại và đồ thị đi qua điểm (2;1) nên B loại
   – Đồ thị có hai điểm cực trị nên phương án C bị loại ( có $y‘=x^2+3>0$)
   – Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-3), thay vào phương án A thấy thỏa mãn

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3−3×2+1 tại điểm A (3;1) là đường thẳng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tiếp tuyến đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ tại điểm A (3;1) là đường thẳng

   A. $y=-9x-26$

   B. $y=-9x-3$

   C. $y=9x-2$

   D. $y=9x-26$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Ta có : $y‘=3x^2-6x\Rightarrow y‘\left(3\right)=9$
   Phương trình tiếp tuyến tại điểm A (3;1) là $y=9\left(x-3\right)+1\iff y=9x-26$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====