Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’).  Gọi AA’  và BB’  là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp M.AA’B’B  bằng bao nhiêu?

Câu hỏi:

Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và $\left(O^{‘}\right).$  Gọi $A{A}^{‘}$  và $B{B}^{‘}$  là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp $M.A{A}^{‘}{B}^{‘}B$  bằng bao nhiêu?

A. $\frac{R^3\sqrt{3}}{4}.$

B. $\frac{R^3\sqrt{3}}{2}.$

Đáp án chính xác

C. $\frac{3R^3\sqrt{3}}{4}.$

D. $\frac{R^3\sqrt{3}}{3}.$

Trả lời:

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB $\Rightarrow MH\perp \left(A{A}^{‘}{B}^{‘}B\right).$
Khi đó:  $V_{M.A{A}^{‘}{B}^{‘}B}=\frac{1}{3}MH.S_{A{A}^{‘}{B}^{‘}B}=\frac{1}{3}MH.AB.A{A}^{‘}=\frac{R}{3}MH.AB.$
Vậy để ${\left(V_{M.A{A}^{‘}{B}^{‘}B}\right)}_{\max }\iff {\left(MH.AB\right)}_{\max }.$
Khi AB cố định thì ${\left(MH.AB\right)}_{\max }\iff M{H}_{\max }\iff$  M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra $O\in MH\Rightarrow$ H là trung điểm của AB.
Đặt  $OH=x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MH=MO+OH=R+x\\ AB=2HB=2\sqrt{O{B}^2-O{H}^2}=2\sqrt{R^2-x^2}\end{array}\right..$
Suy ra:  $MH.AB=\left(R+x\right).2\sqrt{R^2-x^2}$
$\iff {\left(MH.AB\right)}^2=4{\left(R+x\right)}^2.(R^2-x^2)$
$=\frac{4}{3}\left(R+x\right)\left(R+x\right)\left(R+x\right).\left(3R-3x\right)$
$\le \frac{4}{3}{\left(\frac{\left(R+x\right)+\left(R+x\right)+\left(R+x\right)+\left(3R-3x\right)}{4}\right)}^4=\frac{27R^4}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi:  $R+x=3R-3x\iff x=\frac{R}{2}.$
Suy ra $MH.AB\le \frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}\Rightarrow V_{M.A{A}^{‘}{B}^{‘}B}\le \frac{R}{3}.\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}=\frac{R^3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {\left(V_{M.A{A}^{‘}{B}^{‘}B}\right)}_{\max }=\frac{R^3\sqrt{3}}{2}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số x4−x2+3  có bao nhiêu điểm cực trị ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $x^4-x^2+3$  có bao nhiêu điểm cực trị ?

   A. 0

   B. 2

   C. 3

   Đáp án chính xác

   D. 1

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có $ab=-1<\mathrm{0,}$  suy ra hàm số có 3 điểm cực trị
    Chú ý: Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  (với $a\ne 0$ )
   +) Có 1 cực trị khi $ab\ge 0.$
   +) Có 3 cực trị khi $ab<0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho logab>0  và a, b là các số thực với a∈0;1.  Khi đó kết luận nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ${\log }_{a}b>0$  và a, b là các số thực với $a\in \left(0;1\right).$  Khi đó kết luận nào sau đây đúng?

   A. b > 0.

   B. b > 1.

   C. $0<b\ne 1.$

   D. $0<b<1.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D

   Do $\left\{\begin{array}{l}a\in \left(0;1\right)\\ {\log }_{a}b>0\end{array}\right.\Rightarrow 0<b<1.$
   Chú ý:  ${\log }_{a}b>0\iff \left[\begin{array}{l}a,b\in \left(0;1\right)\\ a,b>1\end{array}\right.$và ${\log }_{a}b<0\iff \left\{\begin{array}{l}a\in \left(0;1\right)\\ b>1\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}a>1\\ b\in \left(0;1\right)\end{array}\right..$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm đạo hàm của hàm số y=102x+1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm đạo hàm của hàm số $y={10}^{2x+1}.$

   A. $y^{‘}=\left(2x+1\right){.10}^{2x}.$

   B. $y^{‘}=\frac{\left(2x+1\right){.10}^{2x+1}}{\ln 10}.$

   C. $y^{‘}={2.10}^{2x}\ln 10.$

   D. $y^{‘}={20.10}^{2x}\ln 10.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D

   Ta có ${\left(a^u\right)}^{‘}=u^{‘}{a}^u\ln a\Rightarrow y^{‘}={\left({10}^{2x+1}\right)}^{‘}={2.10}^{2x+1}\ln 10={20.10}^{2x}\ln 10.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M2;−3  là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó số phức z¯   có phần thực, phần ảo lần lượt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M\left(2;-3\right)$  là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó số phức $\overline{z}$   có phần thực, phần ảo lần lượt là

   A.-3 và 2

   B. 2 và -3

   C. -2 và 3

   D. 2 và 3

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D

   Ta có $M\left(2;-3\right)\Rightarrow z=2-3i$
    $\Rightarrow \overline{z}=2+3i\Rightarrow \overline{z}$ có phần thực, phần ảo lần lượt là 2 và 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho số phức z thỏa mãn z=z¯.  Trong những khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức z thỏa mãn $z=\overline{z}.$  Trong những khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?

   A. z là số ảo

   B. z là số thực

   Đáp án chính xác

   C. z = 0

   D. –z là số thuần ảo

   Trả lời:

   Đáp án B

   Đặt $z=a+bi,$  khi đó: $z=\overline{z}\iff a+bi=a-bi\iff 2bi=0\Rightarrow z=a$ là số thực.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====