Cho hình nón tròn xoay nằm giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) như hình vẽ. Kẻ đường cao SO của hình nón và gọi I là trung điểm của SO. Lấy M∈P, N∈Q, MN=a và đi qua I cắt mặt nón tại E và F đồng thời tạo với SO một góc 45o. Biết góc giữa đường cao và đường sinh của hình nón bằng . Độ dài đoạn EF là

Câu hỏi:

Cho hình nón tròn xoay nằm giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) như hình vẽ. Kẻ đường cao SO của hình nón và gọi I là trung điểm của SO. Lấy $M\in \left(P\right), N\in \left(Q\right), MN=a$ và đi qua I cắt mặt nón tại E và F đồng thời tạo với SO một góc 45^o. Biết góc giữa đường cao và đường sinh của hình nón bằng . Độ dài đoạn EF là

A. $\text{EF}=2a$

B. $\text{EF}=-\frac{a}{2}\tan 2\beta$

Đáp án chính xác

C. $EF=-a\tan 2\beta$

D. $EF=-2a\tan 2\beta$

Trả lời:

Chọn B

Xét tam giác NIO có $OI=NI.\cos \beta =\frac{a}{2}\cos \beta ,NO=NI.\sin \beta =\frac{a}{2}\sin \beta$
Xét tam giác SEF vuông tại S có
$\widehat{SEF}=\widehat{ESM}+\widehat{SME}=45°+90°-\beta =135°-\beta SF=SE.\tan \widehat{SEF}=SE.\tan \left(135°-\beta \right)=SE.\frac{1+\tan \beta }{\tan \beta -1}$
Vì SI là độ dài đường phân giác trong góc $\widehat{FSE}$ nên
$SI=\sqrt{2}.\frac{SE.SF}{SE+SF}\iff \frac{a}{2}\cos \beta =\sqrt{2}\frac{SE\tan \left(135°-\beta \right)}{1+\tan \left(135°-\beta \right)}\iff SE=\frac{a\left[1+\frac{1+\tan \beta }{\tan \beta -1}\right]\cos \beta }{2\sqrt{2}\frac{1+\tan \beta }{\tan \beta -1}}=\frac{a\sin \beta }{\sqrt{2}\left(1+\tan \beta \right)}$

Do đó $EF=\frac{SE}{\cos \widehat{SEF}}=\frac{SE}{\cos \left(135°-\beta \right)}=\frac{a\sin \beta }{\left(1+\tan \beta \right)\left(-\cos \beta +\sin \beta \right)}=-\frac{a}{2}\tan 2\beta$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====