Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bằng 2a và độ dài đường sinh bằng a5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng 21+5a. Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) là

Câu hỏi:

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bằng 2a và độ dài đường sinh bằng $a\sqrt{5}$. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng $2\left(1+\sqrt{5}\right)a$. Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) là

A. $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

B. $d=\frac{a}{2}$

C. $d=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

D. $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D

Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có

$SA+SB+AB=2\left(1+\sqrt{5}\right)a\iff a\sqrt{5}+a\sqrt{5}+AB=2\left(1+\sqrt{5}\right)a\iff AB=2a$
Gọi E là trung điểm AB, ta có $AB\perp SE$, mặt khác $AB\perp \left(SOE\right)$nên $AB\perp \left(SOE\right)$
Kẻ $OH\perp SE$tại H, ( $H\in SE$ ).
Ta thấy $OH\perp AB$ vì $OH\subset \left(SOE\right)\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right)$
Vậy khoảng cách từ S đến (P) là OH (hay $d\left(O;\left(P\right)\right)=OH$).
$EB=\frac{1}{2}AB=a,OB=R=2a,OE=\sqrt{O{B}^2-E{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{5a^2-4a^2}=aOH=\frac{OS.OE}{\sqrt{O{S}^2+O{E}^2}}=\frac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+3a^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====