Cho hàm số y=x4−2mx2+m, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn (γ):(x−1)2+(y−1)2=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m$, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

A.$-\frac{15}{16}$

B.$\frac{17}{16}$

Đáp án chính xác

C.$\frac{15}{16}$

D.$-\frac{17}{16}$

Trả lời:

Phương pháp giải:
– Tìm tọa độ điểm A, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A.
– Tìm điểm cố định mà Δ đi qua với mọi m.
– Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$.
– Biện luận: Để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right)$theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d(I;\Delta )$phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của $d(I;\Delta )$, từ đó tìm m.
Giải chi tiết:
Vì $A\in \left(C\right)$ và A có hoành độ bằng 1 nên ta có $A(1;1-m)$.
Ta có $y^{‘}=4x^3-4mx\Rightarrow y^{‘}\left(1\right)=4-4m$.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là: $y=(4-4m)(x-1)+1-m\iff (4-4m)x-y-3+3m=0\left(\Delta \right)$.

Ta có:
\(\left( \Delta \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {4 – 4m} \right)x – y – 3 + 3m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\)
$\iff (-4x+3)m+4x-y-3=0\forall m$
$\iff \{\begin{array}{l}-4x+3=0\\ 4x-y-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}\\ y=0\end{array}$
⇒ Đường thẳng Δ luôn đi qua điểm $F(\frac{3}{4};0)\forall m$.
Đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ có tâm $I(1;1)$, bán kính R=2.
Để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right)$theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $d(I;\Delta )$. phải lớn nhất.
Ta có:$d(I;\Delta )\le IF$ (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).
$\Rightarrow d{(I;\Delta )}_{\max }=IF\iff IF\perp \Delta$.
Ta có: $\overrightarrow{IF}=(-\frac{1}{4};-1);\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;4-4m)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{IF}.\overrightarrow{u_{\Delta }}=0\Rightarrow -\frac{1}{4}.1-1.(4-4m)=0\iff m=\frac{17}{16}$.
Vậy để Δ cắt đường tròn $\left(\gamma \right):{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $m=\frac{17}{16}$.
Đáp án B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thể tích khối cầu có bán kính r là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích khối cầu có bán kính $r$ là:

   A. $\frac{4}{3}\pi r^3$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{1}{3}\pi r^3$

   C. $\frac{4}{3}\pi r^2$

   D. $4\pi r^3$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Thể tích khối cầu có bán kính $r$ là $\frac{4}{3}\pi r^3$.
   Giải chi tiết:
   Thể tích khối cầu có bán kính $r$là $\frac{4}{3}\pi r^3$.
   Đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=1, công bội q=2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=2$. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là:

   A. 9

   B. 3

   C. 5

   D. 7

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Tổng n số hạng đầu tiên của CSN có số hạng đầu $u_1$, công bội q là $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.
   Giải chi tiết:
   Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=1$và $q=2$ là: $S_3=\frac{u_1(1-q^3)}{1-q}=\frac{1.(1-2^3)}{1-2}=7$
   Đáp án D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
   

   A.$y={\log }_{3}x$

   B.$y={\log }_{\frac{1}{3}}x$

   C.$y=3^x$

   Đáp án chính xác

   D.$y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   – Hàm số $y={\log }_{a}x(0<a\ne 1)$ có TXĐ $D=(0;+\infty )$.
   + Khi $a>1$, hàm số đồng biến trên D.
   + Khi 0 < a < 1, hàm số nghịch biến trên D.
   – Hàm số $y=a^x(0<a\ne 1)$ có TXĐ $D=(0;+\infty )$.
   + Khi $a>1$, hàm số đồng biến trên D.
   + Khi $0<a<1$, hàm số nghịch biến trên D.
   Giải chi tiết:
   Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên chỉ có đáp án C thỏa mãn, tức là hàm số $y=3^x$
   Đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tập nghiệm S của phương trình (20202021)4x=(20212020)2x−6.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập nghiệm S của phương trình ${\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2021}{2020}\right)}^{2x-6}$.

   A.$S=\{-3\}$

   B.$S=\left\{3\right\}$

   C.$S=\{-1\}$

   D.$S=\left\{1\right\}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   – Sử dụng công thức ${\left(\frac{1}{a}\right)}^m=a^{-m}$.
   – Giải phương trình mũ dạng $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
   Giải chi tiết:
   Ta có:
   ${\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2021}{2020}\right)}^{2x-6}$
   $\iff {\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{6-2x}$
   $\iff 4x=6-2x\iff 6x=6\iff x=1$
   Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$.
   Đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=1log3(x2−2x+3m)có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_3(x^2-2x+3m)}}$có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

   A.$[\frac{2}{3};10]$

   B.$(\frac{2}{3};+\infty )$

   Đáp án chính xác

   C.$[\frac{2}{3};+\infty )$

   D.$(-\infty ;\frac{2}{3})$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   – Hàm căn thức xác định khi biểu thức trong căn không âm.
   – Hàm $y={\log }_{a}f\left(x\right)$xác định khi và chỉ khi $f\left(x\right)$ xác định và $f\left(x\right)>0$.
   Giải chi tiết:
   Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_3(x^2-2x+3m)}}$có TXĐ là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
   $\{\begin{array}{l}{\log }_3(x^2-2x+3m)>0\forall x\in ℝ\\ x^2-2x+3m>0\forall x\in ℝ\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3m>1\forall x\in ℝ\\ x^2-2x+3m>0\forall x\in ℝ\end{array}$
   $\iff x^2-2x+3m>1\forall x\in ℝ\iff x^2-2x-1>-3m\forall x\in ℝ(*)$
   Đặt $f\left(x\right)=x^2-2x-1$ ta có $f^{‘}\left(x\right)=2x-2=0\iff x=1$.
   BBT:
   
   Dựa vào BBT và từ (*) ta có $f\left(x\right)>-3m\forall x\in ℝ$$\iff -3m<\underset{ℝ}{min}f\left(x\right)=-2\iff m>\frac{2}{3}$.
   Vậy $m\in (\frac{2}{3};+\infty )$.
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====