Cho hai số thực x,y thỏa mãn x≥0;y≥0  và x+y=1 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=xy+1+yx+1  lần lượt là

Câu hỏi:

Cho hai số thực x,y thỏa mãn $x\ge 0;y\ge 0$  và $x+y=1$ . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}$  lần lượt là

A. $\frac{1}{2}$ và 1

B. 0 và 1

C. $\frac{2}{3}$ và 1

Đáp án chính xác

D. 1 và 2

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Ta có $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x(x+1)+y(y+1)}{(x+1)(y+1)}=\frac{{(x+y)}^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{2-2xy}{2+xy}.$
Đặt $t=xy$  ta được $P=\frac{2-2t}{2+t}.$
Vì $x\ge 0;y\ge 0\Rightarrow t\ge 0.$
Mặt khác $1=x+y\ge 2\sqrt{xy}\iff xy\le \frac{1}{4}\Rightarrow t\le \frac{1}{4}.$
Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(t\right)=\frac{2-2t}{2+t}$  trên $\left[0;\frac{1}{4}\right].$
Xét hàm số $g\left(t\right)=\frac{2-2t}{2+t}$  xác định và liên tục trên $\left[0;\frac{1}{4}\right].$
Ta có $g^{‘}\left(t\right)=\frac{-6}{{(2+t)}^2}<0$  với $\forall t\in \left(0;\frac{1}{4}\right)$
 $\Rightarrow$hàm số $g\left(t\right)$  nghịch biến trên đoạn $\left[0;\frac{1}{4}\right].$
Do đó $\left\{\begin{array}{l}\min \left[0;\frac{1}{4}\right]g\left(t\right)=g\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{3}\\ \max \left[0;\frac{1}{4}\right]g\left(t\right)=g\left(0\right)=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\min P=\frac{2}{3}\\ \max P=1\end{array}\right.$ .
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3−3x+1  trên khoảng (0; 2) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+1$  trên khoảng (0; 2) là

   A. 1

   B. 3

   C. 0

   D. -1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).
   Ta có $y^{‘}=3x^2-3$
   $y^{‘}=0\iff 3x^2=3\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right.$

   Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị $x=-1$
   Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)
   

   Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $\min \left(0;2\right)y=-1$  đạt tại $x=1$
   Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số fx=−13×6+25×5−12×2+x+1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^6+\frac{2}{5}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^2+x+1$ .
   Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. $\max ℝf\left(x\right)=\frac{17}{30}$

   B. $\max ℝf\left(x\right)=\frac{47}{30}$

   Đáp án chính xác

   C. $\max ℝf\left(x\right)=\frac{67}{30}$

   D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Tập xác định $D=ℝ$
   Ta có $f^{‘}\left(x\right)=-2x^5+2x^4-x+1=-\left(x-1\right)\left(2x^4+1\right)$
   Khi đó $f^{‘}\left(x\right)=0\iff -\left(x-1\right)\left(2x^4+1\right)=0\iff x=1$
   Bảng biến thiên
   
   Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\max ℝf\left(x\right)=\frac{47}{30}$  tại $x=1$
   Chọn B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số fx=6−8xx2+1  trên khoảng −∞;  1 Khi đó giá trị của biểu thức P=6−8aa2+1  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{6-8x}{x^2+1}$  trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$
   Khi đó giá trị của biểu thức $P=\frac{6-8a}{a^2+1}$  bằng

   A. $\frac{22}{5}$

   B. $\frac{6}{13}$

   C. $-\frac{58}{65}$

   Đáp án chính xác

   D. $-\frac{74}{101}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Hàm số liên tục trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$
   Ta có $f^{‘}\left(x\right)=\frac{8x^2-12x-8}{{\left(x^2+1\right)}^2}$
   Khi đó $f^{‘}\left(x\right)=0\iff 8x^2-12x-8=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\notin \left(-\infty ;1\right)\\ x=-\frac{1}{2}\in \left(-\infty ;1\right)\end{array}\right.$
   Bảng biến thiên
   
   Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\max \left(-\infty ;1\right)f\left(x\right)=8\Rightarrow P=\frac{6-8a}{a^2+1}=-\frac{58}{65}$

   Chọn C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=fx=x2−x+1×2+x+1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

   A. $\min ℝf\left(x\right)=1$

   B. $\min ℝf\left(x\right)=\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   C. $\min ℝf\left(x\right)=3$

   D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Tập xác định $D=ℝ$
   Ta có $y=f\left(x\right)=1-\frac{2x}{x^2+x+1}\Rightarrow y^{‘}=-\frac{2\left(x^2+x+1\right)-2x\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{2x^2-2}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

   Do đó $y^{‘}=0\iff 2x^2-2=0\iff x=\pm 1$
   Bảng biến thiên
   
   Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\min ℝf\left(x\right)=\frac{1}{3}$  tại $x=1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2x−2  trên (2; 6) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2}{x-2}$  trên (2; 6) là

   A. $\min \left(2;6\right)y=8$

   Đáp án chính xác

   B. $\min \left(2;6\right)y=4$

   C. $\min \left(2;6\right)y=3$

   D. $\min \left(2;6\right)y=9$

   Trả lời:

   Chọn đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====