Cho hàm số y=fx liên tục và không âm trên R thỏa mãn fx.f'x=2xf2x+1 và f0=0. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=fx trên đoạn 1;3. Biết rằng giá trị của biểu thức P=2M−m có dạng a11−b3+c, a,b,c∈ℤ. Tính a+b+c 

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục và không âm trên R thỏa mãn $f\left(x\right).f‘\left(x\right)=2x\sqrt{f^2\left(x\right)+1}$ và $f\left(0\right)=0$. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[1;3\right]$. Biết rằng giá trị của biểu thức $P=2M-m$ có dạng $a\sqrt{11}-b\sqrt{3}+c$, $\left(a,b,c\in \mathbb{Z}\right)$. Tính $a+b+c$ 

A.$a+b+c=4$

B.$a+b+c=7$

Đáp án chính xác

C.$a+b+c=6$

D.$a+b+c=5$

Trả lời:

Đáp án B.Từ$\begin{array}{l}f\left(x\right).f‘\left(x\right)=2x\sqrt{f^2\left(x\right)+1}\\ \Rightarrow \frac{f\left(x\right).f‘\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)+1}}=2x\\ \Rightarrow \int \frac{f\left(x\right).f‘\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)+1}}dx=\int 2xdx\end{array}$  (1)Đặt  $\begin{array}{l}\sqrt{f^2\left(x\right)+1}=t\\ \Rightarrow f^2\left(x\right)=t^2-1\\ \Rightarrow 2f\left(x\right).f‘\left(x\right)dx=2tdt\\ \Rightarrow f\left(x\right).f‘\left(x\right)dx=tdt\end{array}$Suy ra  $\int \frac{f\left(x\right).f‘\left(x\right)}{\sqrt{f^2\left(x\right)+1}}x=\int \frac{tdt}{t}$$=\int dt=t+C_1$$=\sqrt{f^2\left(x\right)+1}+C_1$và  $\int 2xdx=x^2+C_2$Từ (1) ta suy ra $\sqrt{f^2\left(x\right)+1}+C_1=x^2+C_2$  . Do  $f\left(0\right)=0$nên $C_2-C_1=1$ .Như vậy  $\begin{array}{l}\sqrt{f^2\left(x\right)+1}=x^2+\left(C_2-C_1\right)\\ =x^2+1\\ \Rightarrow f^2\left(x\right)={\left(x^2+1\right)}^2-1\\ =x^4+2x^2\end{array}$$\begin{array}{l}\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{x^4+2x^2}\\ =\left|x\right|\sqrt{x^2+2}\\ =x\sqrt{x^2+2}\end{array}$  (do $x\in \left[1;3\right]$ ).Ta có $f‘\left(x\right)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}$$=\frac{2\left(x^2+1\right)}{\sqrt{x^2+2}}>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\Rightarrow$  Hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x^2+2}$  đồng biến trên R nên $f\left(x\right)$  cũng đồng biến trên $\left[1;3\right]$  .Khi đó $M=\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)=3\sqrt{11}$  và $m=\underset{\left[1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\sqrt{3}$ .Vậy $\begin{array}{l}P=2M-m=6\sqrt{11}-\sqrt{3}\\ \Rightarrow a=6;b=1;c=0\\ \Rightarrow a+b+c=7\end{array}$ 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong các khẳng định sau đây? Khẳng định nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các khẳng định sau đây? Khẳng định nào sai?

   A. Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

   Đáp án chính xác

   B. Gọi $P\left(A\right)$ là xác suất của biến cố A ta luôn có $0<P\left(A\right)\le 1$.

   C. Biến cố là tập con của không gian mẫu

   D. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không biết được chính xác kết quả của nó nhưng ta có thể biết được tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Với mọi biến cố A, xác suất $P\left(A\right)$  của nó luôn thỏa mãn điều kiện $0\le P\left(A\right)\le 1$ .
   Vậy phương án B sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính I=limx→12x−x+3×2−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$

   A.$I=\frac{7}{8}$

   Đáp án chính xác

   B.$I=\frac{3}{2}$

   C.$I=\frac{3}{8}$

   D.$I=\frac{3}{4}$

   Trả lời:

   Đáp án A.Cách 1. tư duy tự luận$\begin{array}{l}I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{x+3}}{x^2-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-\sqrt{x+3}\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}{\left(x^2-1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x^2-x-3}{\left(x^2-1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\end{array}$$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(4x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x+3}{\left(x+1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\frac{7}{2.4}=\frac{7}{8}\end{array}$Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayvậy $I=\frac{7}{8}$Cách 3: Sử dụng quy tắc L’Hospital và máy tính cầ tayVậy $I=\frac{7}{8}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y=x−2x+1. Chọn khẳng định đúng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$. Chọn khẳng định đúng

   A. Hàm số nghịch biến trên R

   B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

   Đáp án chính xác

   C. Hàm số đồng biến trên R

   D. Hàm số có duy nhất một cực trị

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Tập xác định:$D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ .
   Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể đồng biến (hay nghịch biến) trên  R và hàm số không có cực trị. Loại A, C, D.
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx=ecosx.sinx  Tính f'π2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=e^{\cos x}.\sin x$  Tính $f‘\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

   A.1

   B.-2

   C.2

   D.-1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.Cách 1: Tư duy tự luận$\begin{array}{l}f‘\left(x\right)=-{\sin }^{2}x.e^{\cos x}+e^{\cos x}.\cos x\\ =e^{\cos x}\left(\cos x-{\sin }^{2}x\right)\end{array}$$\to f‘\left(\frac{\pi }{2}\right)=e^{\cos \frac{\pi }{2}}.\left(\cos \frac{\pi }{2}-{\sin }^2\frac{\pi }{2}\right)=-1$Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayvậy $f‘\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\−1;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sauKhẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ\backslash \left\{-1;1\right\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sauKhẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

   A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x=1 và x=-1

   B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

   C. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực trị tại x=0

   D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=-\infty \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=-\infty \end{array}\right.\to$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là $x=-1$  và $x=1$ . A đúng.$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=3;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=3\to$Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng . B đúng. Hàm số không có đạo hàm tại điểm , tuy nhiên vẫn đạt giá trị cực đại y=2 tại x=0  . C đúng. Hàm số không đạt cực trị tại điểm x=1  . D sai. 
   Cách 1: Tư duy tự luận Do $\pi >1$   nên ${\pi }^a>\pi ={\pi }^1\iff a>1$ . Vậy A đúng. Do $a>1$  nên $a^{\sqrt{5}}<a^3\iff \sqrt{5}<3$  (hiển nhiên). Vậy B đúng.Do $e>1$  nên $e^a>1\iff e^0\iff a>0$ . Vậy C đúng. Do $a>1$   nên $a^{-\sqrt{3}}>a^2\iff -\sqrt{3}>2$  (vô lý). Vậy D sai.Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Như vậy nếu $a>1$  thì $a^{-\sqrt{3}}<a^2$ . Đáp án D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====