Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x^2} + xf\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1;\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) . Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt e }^e {\frac{{f\left( x \right).\ln x}}{x}dx} \) là
A. \(I = – \frac{1}{8}.\)
B. \(I = – \frac{2}{3}.\)
C. \(I = \frac{1}{{12}}.\)
Đáp án chính xác
D. \(I = \frac{3}{8}.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) ta có \({x^2} + xf\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1 \Rightarrow f\left( {{e^x}} \right) = \frac{{1 – {x^2}}}{{1 + x}} = 1 – x.\)
Đặt \(\ln x = t \Leftrightarrow x = {e^t} \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)
Đổi cận \(x = \sqrt e \Rightarrow t = \frac{1}{2};x = e \Rightarrow t = 1.\)
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {t.f\left( {{e^t}} \right)dt} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {t\left( {1 – t} \right)dt} = \frac{1}{{12}}.\)
Chọn C.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====