Câu hỏi:
Cho hai số phức \(z,{\rm{ }}w\) thỏa mãn \(z + w = 3 + 4i\) và \(\left| {z – w} \right| = 9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \left| z \right| + \left| w \right|\).
A.4.
B.14.
C.\(\sqrt {176} .\)
D.\(\sqrt {106} .\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Lời giải:
Chọn đáp án D
Giả sử \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Từ \(z + w = 3 + 4i \Rightarrow w = \left( {3 – x} \right) + \left( {4 – y} \right)i\).
Ta có \(z – w = \left( {2x – 3} \right) + \left( {2y – 4} \right)i \Rightarrow \left| {z – w} \right| = \sqrt {{{\left( {2x – 3} \right)}^2} + {{\left( {2y – 4} \right)}^2}} = 9\)
\( \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} – 12x – 16y – 56 = 0 \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} – 6x – 8y – 28 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có \(T = \left| z \right| + \left| w \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {3 – x} \right)}^2} + {{\left( {4 – y} \right)}^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có \({T^2} \le 2\left[ {\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {{\left( {3 – x} \right)}^2} + {{\left( {4 – y} \right)}^2}} \right]\)
\( \Rightarrow {T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} – 6x – 8y + 25} \right) = 2\left( {28 + 25} \right) \Rightarrow T \le \sqrt {106} \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3 – x} \right)^2} + {\left( {4 – y} \right)^2} \Leftrightarrow 25 – 6x – 8y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{25 – 6x}}{8}\).
Thế vào (1) ta được \({x^2} + {\left( {\frac{{25 – 6x}}{8}} \right)^2} – 3x – 4.\frac{{25 – 6x}}{8} – 14 = 0\)
\( \Leftrightarrow 64{x^2} + \left( {36{x^2} – 300x + {{25}^2}} \right) – 192x – 32\left( {25 – 6x} \right) – 896 = 0\)
\( \Leftrightarrow 100{x^2} – 300x – 1071 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{51}}{{10}} \Rightarrow y = – \frac{7}{{10}}\\x = – \frac{{21}}{{10}} \Rightarrow y = \frac{{47}}{{10}}\end{array} \right.\)
Vậy \({T_{\max }} = \sqrt {106} \) đạt được chẳng hạn khi \(z = \frac{{51}}{{10}} – \frac{7}{{10}}i,{\rm{ }}w = – \frac{{21}}{{10}} + \frac{{47}}{{10}}i\).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\) là
Câu hỏi:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\) là
A.\( – \frac{1}{3}\sin 3x + C.\)
B.\(\frac{1}{3}\sin 3x + C.\)
Đáp án chính xác
C.\( – 3\sin 3x + C.\)
D.\(3\sin 3x + C.\)
Trả lời:
Lời giải:
Chọn đáp án B
Ta có \(\int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 4y + 3z – 2 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 4y + 3z – 2 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
A.\(\vec n = \left( {0; – 4;3} \right).\)
B.\(\vec n = \left( {1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 4{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 3} \right).\)
C.\(\vec n = \left( { – 1;4; – 3} \right).\)
Đáp án chính xác
D.\(\vec n = \left( { – 4;3; – 2} \right).\)
Trả lời:
Chọn đáp án C
Mặt phẳng \(\left( P \right):x – 4y + 3z – 2 = 0\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( { – 1;4; – 3} \right)\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?A.\(\left( { – \infty ;1} \right).\)
B.\(\left( {3; + \infty } \right).\)
C.\(\left( {0;4} \right).\)
D.\(\left( {1;3} \right).\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Lời giải:Chọn đáp án DHàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho làA.4.
B.0.
C.1.
D.5.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Lời giải:Chọn đáp án DGiá trị cực đại của hàm số \(f\left( x \right)\) là 5
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\sqrt {2x + 3} .\)
Câu hỏi:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\sqrt {2x + 3} .\)
A.\(y’ = \frac{2}{{2x + 3}}.\)
B.\(y’ = \frac{1}{{2x + 3}}.\)
C.\(y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 3} \right)\ln 2}}.\)
D.\(y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 3} \right)\ln 2}}.\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Chọn đáp án D
Ta có \(y = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {2x + 3} \right) \Rightarrow y’ = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x + 3} \right)\ln 2}} = \frac{1}{{\left( {2x + 3} \right)\ln 2}}\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====