Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 3\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f’\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\) là:
A. \(2\sqrt[3]{{42}}\)
B. \(2\sqrt[3]{{15}}\)
C. \(\sqrt[3]{{42}}\)
Đáp án chính xác
D. \(\sqrt[3]{{15}}\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f’\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\)
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:
\(\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f’\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C\)
Theo giả thiết, ta có \(f\left( 0 \right) = 3\) nên
\({\left( {f\left( 0 \right)} \right)^3} = 3\left( {{0^3} + {{2.0}^2} + 2.0 + C} \right) \Leftrightarrow 27 = 3C \Leftrightarrow C = 9 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\)
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\) trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\).
Ta có \(g’\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 6 > 0,\forall x \in \left[ { – 2;1} \right]\) nên đồng biến trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\).
Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} = \sqrt[3]{{\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} }} = \sqrt[3]{{42}}\).
Chọn C.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====