Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0\) và \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) là:
A. \(6\sqrt 2 \)
B. \(\sqrt {10} \)
C. \(5\sqrt 3 \)
D. \(2\sqrt 6 \)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f’\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1\).
Suy ra \(\int {\frac{{f\left( x \right).f’\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C\)
Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \), suy ra \(\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3\)
Với \(C = 3\) thì \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} – 1} \)
Vậy \(f\left( 1 \right) = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \)
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====