Câu hỏi:
Cho \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx = a.{e^2} + b} \) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Giá trị của tổng \(a + b\) là
A. \(\frac{1}{2}.\)
Đáp án chính xác
B. \(\frac{1}{4}.\)
C. \(0.\)
D. 1.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp từng phần.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right..\)
Khi đó \(I = u.v\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. – \int\limits_0^1 {v.du} = \frac{1}{2}x.{e^{2x}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. – \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x.{e^{2x}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. – \frac{1}{4}{e^{2x}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{4}{e^2} + \frac{1}{4}.\)
Suy ra \(a.{e^2} + b = \frac{1}{4}{e^2} + \frac{1}{4}.\)
Đồng nhất hệ số hai vế ta có \(a = \frac{1}{4},b = \frac{1}{4}.\) Vậy \(a + b = \frac{1}{2}.\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====