Câu hỏi:
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}dx = a\pi + b\ln 2,} \) với \(a,b\) là các số hũu tỉ.
Giá trị của \(T = 16a – 8b\) là
A. \(T = 4.\)
Đáp án chính xác
B. \(T = 5.\)
C. \(T = 2.\)
D. \(T = – 2.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đặt \(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{2{{\cos }^2}x}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x \Rightarrow du = dx\\dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \Rightarrow v = \tan x\end{array} \right.\)
Khi đó
\(A = \frac{1}{2}\left[ {x\tan x\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} } \right] = \frac{1}{2}\left[ {\left( {x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right.} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{1}{2}\ln 2} \right) = \frac{\pi }{8} – \frac{1}{4}\ln 2.\)
Vậy \(a = \frac{1}{8},b = \frac{{ – 1}}{4}\) do đó \(16a – 8b = 2 + 2 = 4.\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====