Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng:

Câu hỏi:

Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng:

A. $\frac{16\sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{32\sqrt{3}}{27}$

C. $\frac{16\sqrt{3}}{27}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{32\sqrt{3}}{9}$

Trả lời:

Chọn C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC.
Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên:

Và có BM=CM => ΔMBC cân tại M
Trong tam giác ΔMBC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên

Khi đó diện tích tam giác ΔMBC là:

Thể tích tứ diện ABCD là:

Đặt AD=2x, BC=2y ta có:
$V_{ABCD}=\frac{1}{6}.2x.2y.\sqrt{4–x^2–y^2}=\frac{2}{3}.\sqrt{x^2{y}^2\left(4–x^2–y^2\right)}\le \frac{2}{3}\sqrt{\frac{{\left(x^2+y^2+\left(4–x^2–y^2\right)\right)}^3}{27}}=\frac{16\sqrt{3}}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x^2 =y^2 = \sqrt{4–x^2–y^2}$
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là: $\frac{16\sqrt{3}}{27}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA=3, OB=4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA=3, OB=4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:

   A. 3

   B. $\frac{\sqrt{41}}{12}$

   C. $\frac{144}{\sqrt{41}}$

   D. $\frac{12}{\sqrt{41}}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V₁ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5V1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V₁ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5$V_1$

   A. 60⁰

   Đáp án chính xác

   B. 120⁰

   C. 45⁰

   D. 90⁰

   Trả lời:

   Chọn A
   
   Gọi M là trung điểm CD. Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc SMO
   
   Đây là giao điểm cần tìm.
   
   Xét tam giác vuông SOD.
   

   Xét tam giác vuông SOM vuông tại O có
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình chóp S. ABC, có AB=5 (cm), BC=6 (cm), AC=7 (cm). Các mặt bên tạo với đáy 1 góc 600. Thể tích của khối chóp bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S. ABC, có AB=5 (cm), BC=6 (cm), AC=7 (cm). Các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60⁰. Thể tích của khối chóp bằng:

   A. $\frac{105\sqrt{3}}{2}$ ($c{m}^3$)

   B. $\frac{35\sqrt{3}}{2}\left(c{m}^3\right)$

   C. $24\sqrt{3} \left(c{m}^3\right)$

   D. $8\sqrt{3} \left(c{m}^3\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   
   Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) và I, J, K là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh BC, CA, AB
   
   Mà các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60⁰ nên
   => ΔSHJ = ΔSHI = ΔSHK (cạnh góc vuông – góc nhọn)
   => HI=HJ=HK => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
   Mặt khác:
   
   Tam giác SHI vuông tại H có SH = HI . tan 60⁰ = 2$\sqrt{2}$
   Khi đó:  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a/2. Thể tích của khối lăng trụ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a/2. Thể tích của khối lăng trụ bằng:

   A. $\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{12}$

   B. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{16}$

   C. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{16}$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{48}$

   Trả lời:

   Chọn C
   
   Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A trên A’I. Khi đó ta có:
   
   Trong tam giác vuông AA’I ta có:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:

   A. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

   C. $\frac{a\sqrt{7}}{4}$

   D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

   Trả lời:

   Chọn A
   
   
   Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====