Câu hỏi:
Với mọi số thực \(x,y\) thỏa điều kiện \({\log _2}\left( {\frac{{xy + 1}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – xy\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{2xy + 1}}\). Tính giá trị biểu thức \(Q = 15m + 2{\log _2}M\).
A. \(Q = 0\)
B. \(Q = 1\)
C. \(Q = – 2\)
Đáp án chính xác
D. \(Q = – 1\)
Trả lời:
Đáp án C
Điều kiện: \(xy + 1 > 0\).
\({\log _2}\left( {\frac{{xy + 1}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – xy \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\frac{{xy + 1}}{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}} \right] = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – xy – 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy + 1} \right) + \left( {xy + 1} \right) = {\log _2}\left[ {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right] + 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\)
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0{\rm{ }}\forall t > 0 \Rightarrow \)hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó: \(f\left( {xy + 1} \right) = f\left( {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right) \Rightarrow xy + 1 = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
Ta có: \( – \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right) \le xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \Leftrightarrow – \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right) + 1 \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \right) + 1 \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le {x^2} + {y^2} \le \frac{2}{3}\).
Khi đó: \(P = \frac{{{x^4} + {y^4}}}{{2{\rm{x}}y + 1}} = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} – 2{{\left( {xy} \right)}^2}}}{{2{\rm{x}}y + 1}}\).
Thay \(xy = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – 1\), đặt \(t = {x^2} + {y^2}\) rút gọn ta được: \(P\left( t \right) = \frac{{ – 7{t^2} + 8t – 2}}{{4t – 1}}\) với \(\frac{2}{5} \le t \le \frac{2}{3}\).
\(P’\left( t \right) = \frac{{ – 28{t^2} + 14t}}{{{{\left( {4t – 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Lập bảng biến thiên dễ thấy: \(\max P = P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4},{\rm{ }}\min P = P\left( {\frac{2}{5}} \right) = P\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{{15}}\).
Do đó: \(m = \frac{2}{{15}},M = \frac{1}{4} \Rightarrow Q = 15m + 2{\log _2}M = – 2\).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây sai?A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right).\)
Đáp án chính xác
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right).\)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right).\)
Trả lời:
Đáp án B
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Do đó B là mệnh đề sai.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 – t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) có một vectơ chỉ phương là
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 – t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) có một vectơ chỉ phương là
A. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;1;3} \right).\)
B. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { – 1;2;3} \right).\)
C. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1;1} \right).\)
D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( { – 1;2;1} \right).\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D
Đường thẳng d có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { – 1;2;1} \right)\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hình nón có bán kính đáy, chiều cao, đường sinh lần lượt là \(r,h,l\). Diện tích xung quanh của hình nón là:
Câu hỏi:
Hình nón có bán kính đáy, chiều cao, đường sinh lần lượt là \(r,h,l\). Diện tích xung quanh của hình nón là:
A. \(S = \pi rh.\)
B. \(S = \pi {r^2}.\)
C. \(S = \pi hl.\)
D. \(S = \pi rl.\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D
Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh: \(S = \pi r\ell \).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Số phức liên hợp của \(z = 4 + 3i\) là
Câu hỏi:
Số phức liên hợp của \(z = 4 + 3i\) là
A. \(\bar z = – 3 + 4i.\)
B. \(\bar z = 4 – 3i.\)
Đáp án chính xác
C. \(\bar z = 3 + 4i.\)
D. \(\bar z = 3 – 4i.\)
Trả lời:
Đáp án B
Số phức liên hợp của \(z = 4 + 3i\) là \(\overline z = 4 – 3i\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho \(a > 0;b > 0\). Tìm đẳng thức sai.
Câu hỏi:
Cho \(a > 0;b > 0\). Tìm đẳng thức sai.
A. \({\log _2}{\left( {ab} \right)^2} = 2{\log _2}\left( {ab} \right)\)
B. \({\log _2}a + {\log _2}b = {\log _2}\left( {ab} \right)\)
C. \({\log _2}a – {\log _2}b = {\log _2}\frac{a}{b}\)
D. \({\log _2}a + {\log _2}b = {\log _2}\left( {a + b} \right)\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Đáp án D
Sử dụng các công thức:
\({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\)
\({\log _a}x – {\log _a}y = {\log _a}\frac{x}{y}\)
\({\log _{{a^n}}}{b^m} = \frac{m}{n}{\log _a}b\)
\(\left( {0 < a \ne 1;x,y,b > 0} \right)\).
Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án D sai.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====