Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu:  (S1):x2+y2+z2+4x+2y+z=0; (S2); x2+y2+z2-2x-y-z=0 cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P). Cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3). Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA?

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu: 
$\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2+4x+2y+z=0$;
$\left(S_2\right); x^2+y^2+z^2–2x–y–z=0$
cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P). Cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3). Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA?

A. 4 Mặt cầu.

Đáp án chính xác

B. 2 Mặt cầu.

C. 3 Mặt cầu.

D. 1 Mặt cầu.

Trả lời:

Chọn A
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) (giao của  2 mặt cầu đã cho) có phương trình là: 6x + 3y + 2z = 0
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C. Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA. Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3), N(10;6;0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z -10 = 0. Điểm I(-10; a; b) thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IM – IN| lớn nhất. Khi đó tổng T = a + b bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3), N(10;6;0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z -10 = 0. Điểm I(-10; a; b) thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IM – IN| lớn nhất. Khi đó tổng T = a + b bằng:

   A. T = 5

   B. T = 1

   C. T = 2

   Đáp án chính xác

   D. T = 6

   Trả lời:

   Chọn C
   Ta có:
   
   Nên hai điểm M và N nằm cùng phía so với mặt phẳng (P)
   Ta luôn có: , nên |IM – IN| lớn nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (P).
   Đường thẳng MN có vec-tơ chỉ phương , nên phương trình đường thẳng MN là: 
   Tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng (P) ứng với t là nghiệm phương trình:
   10t – 2(1+5t) + 2(3-3t) – 10 = 0 <=> t = -1

   Do đó I (-10; -4; 6), từ đó ta có a = -4 và b = 6, nên T = -4 + 6 = 2.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z -16 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z -16 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:

   A. r =$\sqrt{6}$

   B. r = 2$\sqrt{2}$

   C. r = 4

   Đáp án chính xác

   D. r = 2$\sqrt{3}$

   Trả lời:

   Chọn C
   Mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z -16 = 0 có tâm I (1; -2; 2) bán kính R = 5
   Khoảng cách từ I (1; -2; 2) đến mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0 là 
   Mặt phẳng  cắt mặt cầu  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là: 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y – 2z – 4 = 0 và (β): 2x – 2y – z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y – 2z – 4 = 0 và (β): 2x – 2y – z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:

   A. m = 12

   B. m = -12

   Đáp án chính xác

   C. m = -10

   D. m = 5

   Trả lời:

   Chọn B
   Phương trình (S): x² + y² + z² + 4x – 6y + m = 0 là phương trình mặt cầu <=> m < 13
   Khi đó (S) có tọa độ tâm I (-2;3;0) bán kính 
   Gọi M (x;y;z) là điểm bất kỳ thuộc Δ.
   Tọa độ M thỏa mãn hệ: 
   Đặt y = t ta có: 
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x=–2+2t\\ y=–3+2t\end{array}\right.$
   => Δ có phương trình tham số: 
   Δ đi qua điểm N (-2; 0; -3) và có vectơ chỉ phương 
   
    
   Giả sử mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. Gọi (C) là đường tròn lớn chứa đường thẳng Δ. Khi đó IC² = R² – AC² = 13 – m – 4² = -m – 3
   Có: $\overrightarrow{IN}=$ (0;-3;-3)
   $\left[\overrightarrow{IN}, \overrightarrow{u}\right]=\left(–3; –6; 6\right)\Rightarrow \left|\left[\overrightarrow{IN}, \overrightarrow{u}\right]\right|=9; \left|\overrightarrow{u}\right|=3d\left(I, ∆\right) = \frac{\left|\left[\overrightarrow{IN}, \overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{9}{3}=3$
   Vậy mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8 khi $IC = d\left(I, ∆\right)$
   <=> -m – 3 = 9 <=> m = -12

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB'C) và mặt phẳng (BCC'B') bằng 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB’C) và mặt phẳng (BCC’B’) bằng 60⁰. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’?

   $\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }V=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

   $\mathbf{B}\mathbf{.} V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

   $\mathbf{C}. V=\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

   $\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }V=\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   
   Vì tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6 nên AB = AC = a√3.
   Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A (0;0;0), B (0; a√3; 0), C (a√3;0;0), A’ (0;0;z) (z > 0).

   
   VTPT của (BCC’B’) là:
   $\overrightarrow{n_1}=\frac{1}{za\sqrt{3}}\left[\overrightarrow{CB};\overrightarrow{BB‘}\right]=\frac{1}{za\sqrt{3}}\left(za\sqrt{3}; za\sqrt{3}; 0\right)=\left(1;1;0\right)$
   
    VTPT của mặt phẳng (B’AC) là:
   
   Vì góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng (B’AC)  bằng $60°$  nên:
   
   Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; -2; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2π. Viết phương trình mặt cầu (S).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; -2; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2π. Viết phương trình mặt cầu (S).

   A.$( S ) : x^2+{(y+1)}^2+{(z+1)}^2=3$

   B. $\left(S\right) : x^2+{(y+2)}^2+{(z+1)}^2=1$

   C . $\left(S\right) : x^2+{(y+2)}^2+{(z–1)}^2=3$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(S\right) : x^2+{(y+2)}^2+{(z+1)}^2=2$

   Trả lời:

   Chọn C
   Ta có h = d(I, (P)) = 1 
   Gọi (C) là đường tròn giao tuyến có bán kính r.
   Vì S = r².π = 2π <=> r = √2
   Mà R² = r² + h² = 3 => R = √3
   Vậy phương trình mặt cầu tâm I (0; -2; 1) và bán kính R = √3 là
   $x^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z–1\right)}^2=3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====