Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S  có phương trình S:x−12+y−22+z−32=4. Xét đường thẳng d:x=1+ty=−mtz=m−1t , m là tham số thực. Giả sử P  và P’  là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với S  lần lượt tại T  và T’ . Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng  TT’là

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right)$  có phương trình $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=4$. Xét đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-mt\\ z=\left(m-1\right)t\end{array}\right.$ , m là tham số thực.
Giả sử $\left(P\right)$  và $\left(P^{‘}\right)$  là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với $\left(S\right)$  lần lượt tại $T$  và $T^{‘}$ . Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng  $T{T}^{‘}$là

A. $\frac{4\sqrt{13}}{5}$

Đáp án chính xác

B. $2\sqrt{2}$

C. 2

D. $\frac{2\sqrt{11}}{3}$

Trả lời:

Đáp án A
Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I\left(1;2;3\right)$  và bán kính $R=IT=I{T}^{‘}=2$
Ta có  $T{T}^{‘}=2TH$ mà  $\frac{1}{T{H}^2}=\frac{1}{T{I}^2}+\frac{1}{T{M}^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{I{M}^2-4}$  (1)
Ta đi tìm min IM.
Do $M\in d\Rightarrow M\left(1+t;-mt;\left(m-1\right)t\right)$   nên $I{M}^2=\left(2m^2-2m+2\right)t^2+\left(6-2m\right)t+13$
$\iff \left(2m^2-2m+2\right)t^2+\left(6-2m\right)t+13-I{M}^2=0$

Ta có: ${\Delta }^{‘}={\left(3-m\right)}^2-\left(2m^2-2m+2\right)\left(13-I{M}^2\right)\ge 0$
$\iff I{M}^2\ge 13-\frac{{\left(m-3\right)}^2}{2m^2-2m+2}=f\left(m\right)$

 Ta có $f^{‘}\left(m\right)=\frac{\left(m-3\right)\left(10m-2\right)}{{\left(2m^2-2m+2\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=\frac{1}{5}\end{array}\right.$
Từ đó $f\left(m\right)\ge f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{25}{3}\Rightarrow I{M}^2\ge \frac{25}{3}$
Từ (1)  suy ra $TH\ge \sqrt{\frac{52}{25}}\Rightarrow T{T}^{‘}=2TH\ge \frac{4\sqrt{13}}{5}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số fx  có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)$  có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là sai?
   

   A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$

   B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right)$

   C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

   Đáp án chính xác

   D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right)$  và đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$ . Vậy kết luận hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  là sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
   

   A. $y=x^3-2x^2+3$

   Đáp án chính xác

   B. $y=-x^3+2x^2+3$

   C. $y=x^4-3x^2+3$

   D. $y=-x^3-2x^2+3$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Đồ thị hàm số có hình dạng của hàm bậc ba nên loại đáp án C.
   Hàm số có hệ số $a>0$  nên chọn đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Với a là số thực dương tùy ý khác 1 và b là số thực tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với a là số thực dương tùy ý khác 1 và b là số thực tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?

   A. $a={\log }_b\left(a^b\right)$

   B. $b={\left(a^b\right)}^a$

   C. $b={\left(b^a\right)}^b$

   D. $b={\log }_a\left(a^b\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Theo tính chất của logarit, ta có ${\log }_a\left(a^b\right)=b$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

   A. Đồ thị của hàm số $y=2^x$  và $y={\log }_{2}x$  đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=-x$

   B. Đồ thị của hai hàm số $y=e^x$  và $y=\ln x$  đối xứng với nhau qua đuường thẳng $y=x$

   Đáp án chính xác

   C. Đồ thị của hai hàm số $y=2^x$  và $y=\frac{1}{2^x}$  đối xứng với nhau qua trục hoành

   D. Đồ thị của hai hàm số $y={\log }_{2}x$  và $y={\log }_2\frac{1}{x}$  đối xứng với nhau qua trục tung

   Trả lời:

   Đáp án B
   Đồ thị hàm số $y=a^x$  và đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$  đối xứng với nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất $\left(y=x\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

   A. Đồ thị của hàm số $y=2^x$  và $y={\log }_{2}x$  đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=-x$

   B. Đồ thị của hai hàm số $y=e^x$  và $y=\ln x$  đối xứng với nhau qua đuường thẳng $y=x$

   Đáp án chính xác

   C. Đồ thị của hai hàm số $y=2^x$  và $y=\frac{1}{2^x}$  đối xứng với nhau qua trục hoành

   D. Đồ thị của hai hàm số $y={\log }_{2}x$  và $y={\log }_2\frac{1}{x}$  đối xứng với nhau qua trục tung

   Trả lời:

   Đáp án B
   Đồ thị hàm số $y=a^x$  và đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$  đối xứng với nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất $\left(y=x\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====