Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y+z+1=0. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IA – IB| đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a+b+c bằng:

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y+z+1=0. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IA – IB| đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a+b+c bằng:

A. -4 

Đáp án chính xác

B. 22 

C. 13. 

D. -13.

Trả lời:

Chọn A
Thay tọa độ hai điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có
2. 3-1+0+1=6 > 0 và 2. (-9)-4+9+1 = -12 < 0.
Nên suy ra, hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P).
Gọi A’  là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). Khi đó: 
+) Phương trình đường thẳng AA’ nhận VTPT của mặt phẳng (P) là VTCP và đi qua điểm A(3;1;0) là:
$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1–t\\ z=t\end{array}\right.$
+) Gọi H(3+2t;1-t;t) là giao điểm của AA’ và mặt phẳng (P). Khi đó tọa độ điểm H thỏa mãn:
2(3+2t) – (1-t) + t +1 =0
$\iff 6+6t=0\iff t=–1\Rightarrow H\left(1; 2; –1\right)$
+) Vì H là trung điểm của AA’ nên$\Rightarrow A‘(–1; 3; –2)$
+) Xét $∆IA‘B$ ta có: (bất đẳng thức trong tam giác)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A’, B, I thẳng hàng và I nằm ngoài đoạn A’B. Suy ra I là giao điểm của đường thẳng A’B và mặt phẳng (P).
Ta có , nên suy ra phương trình đường thẳng A’B là .
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình

Vậy I (7;2;13) nên a+b+c=7+2+ (-13)=-4.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất.

   A. 2x-y+2z-3=0. 

   B. 4x-y-z-6=0 

   C. 2x+y+2z-6=0 

   D. x+2y+2z-6=0.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Gọi A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c), do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên a, b, c > 0.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (2;2;1), N(-83;43;83) . Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (2;2;1), $N(\frac{–8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3})$ . Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).

   A. x²+ (y+1)²+ (z+1)²=1. 

   B. x²+ (y-1)²+ (z-1)²=1

   Đáp án chính xác

   C. (x-1)²+ (y-1)²+z²=1 

   D. (x-1)²+y²+ (z-1)²=1.

   Trả lời:

   Chọn B
   Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN.
   Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có  với a = MN, b = ON, c = OM. 
   Ta có:
   
   
   
   Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0.
   Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên mặt cầu có bán kính R = d (I, (Oxz)) = 1.
   Vậy phương trình mặt cầu là x²+ (y-1)²+ (z-1)²=1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng (R): x+y-2z+2=0 và đường thẳng ∆1:x2=y1=z-1-1.Đường thẳng Δ2 nằm trong mặt phẳng (R) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng Δ1 có phương trình là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng (R): x+y-2z+2=0 và đường thẳng ${∆}_1:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z–1}{–1}$.Đường thẳng Δ₂ nằm trong mặt phẳng (R) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng Δ₁ có phương trình là:

   

   Đáp án chính xác

   

   

   

   Trả lời:

   Chọn A
   Phương trình tham số của đường thẳng Δ₁ là 
   Gọi I (x;y;z) là giao điểm của Δ₁ và (R).
   Khi đó tọa độ của I là thỏa mãn: 
   
   Mặt phẳng (R) có VTPT ; Đường thẳng Δ₁ có VTCP .
   
   Đường thẳng Δ₂ nằm trong mặt phẳng (R) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng Δ₁.
   Do đó Δ₂ đi qua I = (0;0;1) và nhận  làm một VTCP.
   Vậy phương trình của Δ₂ là 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua M (1;1;4) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C phân biệt sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Tính thể tích nhỏ nhất đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua M (1;1;4) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C phân biệt sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Tính thể tích nhỏ nhất đó.

   A. 72. 

   B. 108 

   Đáp án chính xác

   B. 18. 

   D. 36.

   Trả lời:

   Chọn B
   Đặt A= (a;0;0), B= (0;b;0), C= (0;0;c) với a, b, c>0.
   Khi đó phương trình mặt phẳng (α) là 
   Vì (α) đi qua M (1;1;4) nên 
   Thể tích của tứ diện OABC là 
   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 
   Dấu bằng xảy ra khi a=b=3 ; c=12.
   Vậy tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất bằng 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x-11=y-1=z-21và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+1=0. Đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d có phương trình là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x–1}{1}=\frac{y}{–1}=\frac{z–2}{1}$và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+1=0. Đường thẳng nằm trong (P), cắt và vuông góc với d có phương trình là:

   

   

   

   Đáp án chính xác

   

   Trả lời:

   Chọn C
   Phương trình tham số của . Gọi M = d ∩ (P).
   Khi đó M ∈ d nên M (1+t;-t;2+t) ; M ∈ (P) nên 2(1 + t) – (- t) – 2 (2 + t) + 1 = 0 ó t = 1.
   Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M (2;-1;3).
   Gọi  lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
   Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là .
   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====