Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2;3;3), phương trình đường trung tuyến ∆ kẻ từ B là x-3-1=y-32=z-2-1 , phương trình đường phân giác trong d của góc C là x-22=y-4-1=z-2-1 . Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là:

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2;3;3), phương trình đường trung tuyến $∆$ kẻ từ B là $\frac{x–3}{–1}=\frac{y–3}{2}=\frac{z–2}{–1}$ , phương trình đường phân giác trong $d$ của góc C là $\frac{x–2}{2}=\frac{y–4}{–1}=\frac{z–2}{–1}$ . Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là:

$\mathbf{A}.\overrightarrow{u}=\left(2;1;–1\right)$

$\mathbf{B}.\overrightarrow{u}=\left(1;1;0\right)$

$\mathbf{C}. \overrightarrow{u}=\left(1;–1;0\right)$

Đáp án chính xác

$\mathbf{D}\mathbf{.} \overrightarrow{u}=\left(1;2;1\right)$

Trả lời:

Chọn C

 
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó M thuộc vào đường trung tuyến kẻ từ B của tam giác ABC.
Giả sử M (3 – t ; 3 + 2t ; 2 – t) ∈ Δ suy ra C (4-2t; 3+4t; 1-2t).
Mà C thuộc đường phân giác trong d của góc C nên ta có:
Suy ra C (4; 3; 1).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường phân giác trong d.
Suy ra H (2+2t’;4-t’;2-t’) 
Ta có  ó 2. 2t’+ (-1) (1-t’)+ (-1) (-1-t’)=0 ó 4t’-1+t’+1+t’=0 ó t’=0
=> H (2;4;2).
Gọi A’ đối xứng với A qua đường phân giác trong d.
Suy ra A’ ∈ (BC) và A’ (2;5;1). Khi đó  là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d: x1=y-11=z-21  và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x – z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2 = 0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng $d: \frac{x}{1}=\frac{y–1}{1}=\frac{z–2}{1}$  và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x – z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2 = 0

   $\mathbf{A}\mathbf{.} \left(S\right): {\left(x–1\right)}^2+{\left(y–2\right)}^2+{\left(z–3\right)}^2=5$

   Đáp án chính xác

   $\mathbf{B}. \left(S\right) : {\left(x–1\right)}^2+{\left(y–2\right)}^2+{\left(z–3\right)}^2=\sqrt{5}$

   $\mathbf{C}\mathbf{.} \left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=5$

   $\mathbf{D}. \left(S\right):{\left(x–1\right)}^2+{\left(y–2\right)}^2+{\left(z–3\right)}^2=3$

   Trả lời:

   Chọn A
   Gọi I là tâm mặt cầu (S). Khi đó I (t; 1+t; 2+t) và ta có:
   

   Vậy mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính
   Do đó mặt cầu (S) có phương trình: 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (S): x + 2y – 2z + 2018 = 0 và (Q): x + my + (m -1)z + 2017 = 0. Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng (Q)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (S): x + 2y – 2z + 2018 = 0 và (Q): x + my + (m -1)z + 2017 = 0. Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng (Q)?

   A. H (-2017; 1; 1)

   Đáp án chính xác

   B. H (2017; -1; 1)

   C. H (2017; 0; 0)

   D. H (0; -2017; 0)

   Trả lời:

   Chọn A
   Vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là

   
   Gọi φ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)  thì 0⁰ ≤ φ ≤ 90⁰
   
   Để (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì cosφ lớn nhất  nhỏ nhất.
   Mà  nên giá trị lớn nhất của là  
   
   Vậy H (-2017; 1; 1) ∈ (Q)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau  d1:x=4-2ty=tz=3, d2:x=1y=t'z=-t' Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau 
   $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=4–2t\\ y=t\\ z=3\end{array}, d_2:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=t‘\\ z=–t‘\end{array}\right.\right.$
   Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là:

   

   

   Đáp án chính xác

   

   

   Trả lời:

   Chọn B
   Đường thẳng d₁ có vtcp ; đường thẳng d₂ có vtcp
   Giả sử M ∈ d₁ => M (4 – 2t; t; 3), N ∈ d₂ => N (1; t’; -t’)
   Khi đó:   để MN là đoạn vuông góc chung của d₁ và d₂ khi:
   
   Vậy M (2; 1; 3), N (1; -1; 1)
   Mặt cầu cần tìm là mặt cầu đường kính MN nên có tâm , bán kính R = MN/2 = 3/2
   Và có phương trình là: ${\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2+y^2+{\left(z–2\right)}^2=\frac{9}{4}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;1;2), B (-1; 3; -9). Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho△ABM vuông tại M.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;1;2), B (-1; 3; -9). Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho$△ABM$ vuông tại M.

   

   

   Đáp án chính xác

   

   

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S1/S2 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S₁/S₂ bằng:

   A. 1. 

   Đáp án chính xác

   B. 1, 2. 

   C. 2. 

   D. 1, 5.

   Trả lời:

   Chọn A
   Giả sử bán kính của quả bóng bàn hình cầu là R.
   Khi đó bán kính đáy của chiếc hộp hình trụ cũng là R. 
   Tổng diện tích ba quả bóng bàn là:
   
   Diện tích xung quanh của hình trụ:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====