Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng α vuông góc với Δ:x1=y−2=z3 và α cắt trục Ox, trục Oy và tia Oz lần lượt tại M, N, P. Biết rằng thể tích khối tứ diện OMNP bằng 6. Mặt phẳng α đi qua điểm nào sau đây? 

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ vuông góc với $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ và $\left(\alpha \right)$ cắt trục Ox, trục Oy và tia Oz lần lượt tại M, N, P. Biết rằng thể tích khối tứ diện OMNP bằng 6. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm nào sau đây? 

A. B(1; -1; 1)

Đáp án chính xác

B. A(1; -1; -3)

C. C(1; -1; 2)

D. (1; -1; -2)

Trả lời:

Phương pháp:
– Vì $\left(\alpha \right)\perp \Delta \Rightarrow \left(\alpha \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(A;B;C\right).$ Suy ra dạng phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right):Ax+By+Cz+d=0.$
– Tìm giao điểm của $\Delta$ với trục Ox, trục Oy và tia Oz
– Tính độ dài OM, ON, OP theo d
– Tính  $V_{OMNP}=\frac{1}{6}OM.ON.OP,$ giải phương trình tìm de
– Suy ra phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và tìm điểm thuộc $\left(\alpha \right)$.
Cách giải:
Đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;-2;3\right).$
Vì $\left(\alpha \right)\perp \Delta \Rightarrow \left(\alpha \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;-2;3\right)$, khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng:
                                         $\left(\alpha \right):x-2y+3z+d=0$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}M=\Delta \cap Ox\\ N=\Delta \cap Oy\\ P=\Delta \cap tiaOz\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\left(-d;0;0\right)\\ N\left(0;\frac{d}{2};0\right)\\ P\left(0;0;-\frac{d}{3}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}OM=\left|d\right|\\ ON=\frac{\left|d\right|}{2}\\ OP=\frac{\left|d\right|}{3}\\ -\frac{d}{3}>0\iff d<0\end{array}\right.$
Vì OMNP là tứ diện vuông tại O nên
$V_{OMNP}=\frac{1}{6}OM.ON.OP=\frac{1}{6}.\frac{1}{6}{\left|d\right|}^3=\frac{1}{36}.{\left|d\right|}^3=6\iff {\left|d\right|}^3=216\iff \left|d\right|=6\iff d=\pm 6.$
Mà $d<0\Rightarrow d=-6\Rightarrow \left(\alpha \right):x-2y+3z-6=0.$
Vậy $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm B(1; -1; 1).
Chọn A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AB và B’D’ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AB và B’D’ bằng:

   A. ${30}^0$

   B. ${135}^0$

   C. ${45}^0$

   Đáp án chính xác

   D. ${90}^0$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng: $a//a‘\Rightarrow \angle \left(a;b\right)=\angle \left(a‘;b‘\right)$
   Cách giải:
   
   Ta có B’D’ // BD nên $\angle \left(AB;B‘D‘\right)=\angle \left(AB;BD\right)$
   Vì ABCD là hình vuông nên $\angle ABD={45}^0.$
   Vậy $\angle \left(AB;B‘D‘\right)={45}^0.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết ∫01fxdx=13 và ∫01gxdx=43. Khi đó ∫01gx−fxdx bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3}.$ Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx$ bằng: 

   A. $-\frac{5}{3}$

   B. $\frac{5}{3}$

   C. -1

   D. 1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$
   Cách giải:
   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1.$
    
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập xác định của hàm số y=logx+log3−x là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập xác định của hàm số $y=\log x+\log \left(3-x\right)$ là: 

   A. $\left(3;+\infty \right)$

   B. (0; 3)

   Đáp án chính xác

   C. $\left[3;+\infty \right)$

   D. [1; 3]

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Hàm số $y=\log x$ xác định khi x > 0.
   Cách giải:
   Hàm số $y=\log x+\log \left(3-x\right)$ xác định khi $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<3\end{array}\right.\iff 0<x<3.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   A. (0; 1)

   B. (-2; -1)

   C. (-1; 0)

   Đáp án chính xác

   D. (-1; 3)

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào đồ thị xác định các khoảng đồ thị đi lên từ trái qua phải.
   Cách giải:
   Dựa vào đồ thị và các đáp án ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên (-1; 0)
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng 600. Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng ${60}^0.$ Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng? 

   A. l = 2r

   Đáp án chính xác

   B. h = 2r

   C. l = r

   D. h = r

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng $\alpha$ thì $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{h}$ với r, h lần lượt là bán kính đáy, đường cao của hình nón.
   – Sử dụng công thức: $l^2=h^2+r^2.$
   Cách giải:
   Vì góc ở đỉnh của một hình nón bằng ${60}^0$ nên $\tan {30}^0=\frac{r}{h}\iff \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{h}\iff h=\sqrt{3}r.$
   Lại có $l^2=h^2+r^2\Rightarrow l^2=3r^2+r^2\iff l=2r.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====