Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Lấy điểm M(a; b; c) với a < 0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA. MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn ∠AMB=600,∠BMC=900,∠CMA=1200. Tổng a + b + c bằng  

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}.$ Lấy điểm
M(a; b; c) với a < 0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA. MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn $\angle AMB={60}^0,\angle BMC={90}^0,\angle CMA={120}^0.$ Tổng a + b + c bằng  

A. 1

B. $\frac{10}{3}$

C. -2

Đáp án chính xác

D. 2

Trả lời:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -3), bán kính $R=3\sqrt{3}.$
Đặt MA = MB = MC = a
Tam giác MAB có $\left\{\begin{array}{l}MA=MB\\ \angle AMB={60}^0\end{array}\right.\Rightarrow \Delta MAB$ đều $\Rightarrow AB=a.$
Tam giác MBC có $\left\{\begin{array}{l}MB=MC=a\\ \angle BMC={90}^0\end{array}\right.\Rightarrow \Delta MBC$ vuông cân tại $M\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$
Tam giác MCA có $\left\{\begin{array}{l}MC=MA=a\\ \angle MAC={120}^0\end{array}\right.,$  áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta tính được $CA=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B (định lí Pytago đảo).
$\Rightarrow \Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính $R=HA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (với H là trung điểm của AC).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông IAM ta có:
$\frac{1}{H{A}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{I{A}^2}\iff \frac{4}{3a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{27}\iff a=3=MA=MB=MC.$
$\Rightarrow I{M}^2=M{A}^2+I{A}^2=3^2+27=36$
Vì $M\in d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ nên gọi $M\left(-1+t;-2+t;1+t\right)$.
$\Rightarrow I{M}^2={\left(t-2\right)}^2+{\left(t-4\right)}^2+{\left(t+4\right)}^2=36$
$\iff 3t^2-4t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=\frac{4}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}M\left(-1;-2;1\right)\\ M\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3}\right)\left(ktm\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow a=-1,b=-2,c=1.$
Vậy $a+b+c=-1-2+1=-2.$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=1+2i và z2=−2+i. Điểm M biểu diễn số phức w=z1z2 có tọa độ là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=1+2i$ và $z_2=-2+i.$ Điểm M biểu diễn số phức $w=\frac{z_1}{z_2}$ có tọa độ là 

   A. M(-1; 0)

   B. M(0; -1)

   Đáp án chính xác

   C. M(0; 1)

   D. M(1; 0)

   Trả lời:

   Ta có: $w=\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+2i}{-2+i}=-i.$
   Vậy điểm M biểu diễn số phức $w=\frac{z_1}{z_2}$ có tọa độ là: M(0; -1)

   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=ax4+bx2+2 tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng x−2y+3=0. Tính a2−b2. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0.$ Tính $a^2-b^2.$ 

   A. $a^2-b^2=-2$

   B. $a^2-b^2=10$

   C. $a^2-b^2=13$

   D. $a^2-b^2=-5$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: $y‘=4a{x}^3+2bx.$
   $\Rightarrow$ tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm A(-1; 1) có hệ số góc là k = -4a – 2b
   Vì tiếp tuyến tại A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0\iff y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ nên 
   $k.\frac{1}{2}=-1\iff k=-2.$
   Lại có điểm A(-1; 1) thuộc đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ nên $a+b+2=1\iff a+b=-1\left(2\right).$
   Từ (1) và (2) ta có: a = 2; b = -3
   Vậy $a^2-b^2=2^2-{\left(-3\right)}^2=-5.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng d:x=1−ty=−2+tz=−1+2t? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=-1+2t\end{array}\right.?$ 

   A. M(0; -1; 1)

   B. $Q\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2};0\right)$

   C. P(3; -4; -5)

   D. $N\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{2};2\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Thay tọa độ điểm $N\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{2};2\right)$ vào phương trình đường thẳng ta có: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}=1-t\\ -\frac{5}{2}=-2+t\\ 2=-1+2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-\frac{1}{2}\\ t=-\frac{1}{2}\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow t\in \varnothing .$
   Vậy $N\notin d.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho số phức z thỏa mãn z+2−i=5. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=1+2iz là một đường tròn tâm I(a; b) và bán kính  Tính a + b + R.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+2-i\right|=\sqrt{5}.$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z$ là một đường tròn tâm I(a; b) và bán kính  Tính a + b + R.

   A. $a+b+R=12.$

   B. $a+b+R=–2.$

   Đáp án chính xác

   C. $a+b+R=7+\sqrt{5}$

   D. $a+b+R=–7+\sqrt{5}$

   Trả lời:

   Theo bài ra ta có: $w=\left(1+2i\right)z\Rightarrow z=\frac{w}{1+2i}.$
   Khi đó ta có:
        $\left|z+2-i\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \left|\frac{w}{1+2i}+2-i\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \left|\frac{w+\left(2-i\right)\left(1+2i\right)}{1+2i}\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \frac{\left|w+\left(2-i\right)\left(1+2i\right)\right|}{\left|1+2i\right|}=\sqrt{5}$
   $\iff \left|w+4+3i\right|=5$
   $\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z$ là một đường tròn tâm I(-4; 3) và bán kính R = 5.
   Vậy $a+b+R=-4-3+5=-2.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0; 2]; f(0) = 1 và ∫02f’xdx=−3. Tính f(2).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0; 2]; f(0) = 1 và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx=-3.$ Tính f(2).

   A. f(2) = -4

   B. f(2) = -3

   C. f(2) = -2

   Đáp án chính xác

   D. f(2) = 4

   Trả lời:

   $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx=f\left(2\right)-f\left(0\right)\Rightarrow f\left(2\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx+f\left(0\right)=-2.$
    
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====