Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y−22+z+32=24 cắt mặt phẳng α:x+y=0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm hoành độ điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến A(6; -10; 3) lớn nhất. 

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=24$ cắt mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y=0$ theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm hoành độ điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến A(6; -10; 3) lớn nhất. 

A. -1

B. -4

Đáp án chính xác

C. 2

D. -5

Trả lời:

Phương pháp:
– Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
– Gọi H là tâm đường tròn (C), tìm tọa độ điểm H. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(\alpha \right),$ tìm tọa độ điểm K.
– Sử dụng định lí Pytago: $A{M}^2=A{K}^2+K{M}^2,$ chứng minh $A{M}_{\max }\iff K{M}_{\max }.$
– Sử dụng BĐT tam giác: $KM\le KH+HM,$ tìm M để $KM=KH+HM.$
Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=24$ có tâm I(0; 2; -3), bán kính $R=2\sqrt{6}.$
Gọi H là tâm đường tròn $\left(C\right)\Rightarrow IH\perp \left(\alpha \right).$
$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $IH:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=-3\end{array}\right..$
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=-3\\ x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=-3\\ t+2+t=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\\ z=-3\end{array}\right.\Rightarrow H\left(-1;1;-3\right).$
Ta có $IH=d\left(I;\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|0+2\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow$ Bán kính đường tròn (C) là $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{24-2}=\sqrt{22}.$
Dễ thấy điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(\alpha \right),$ tương tự như tìm tọa độ điểm H ta tìm được K(8; -8; 3).
Khi đó ta có $KH=\sqrt{{\left(8+1\right)}^2+{\left(-8-1\right)}^2+{\left(3+3\right)}^2}=3\sqrt{22}>r.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{M}^2=A{K}^2+K{M}^2,$ do AK không đổi nên $A{M}_{\max }\iff K{M}_{\text{max}}$.
Ta cps $KM\le KH+HM$ (BĐT tam giác), do đó $K{M}_{\max }\iff HM=KH+HM=3\sqrt{22}+\sqrt{22}=4\sqrt{22},$ khi đó $\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MH}$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}8-x_M=4\left(-1-x_M\right)\\ -8-y_M=4\left(1-y_M\right)\\ 3-z_M=4\left(3-z_M\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=-4\\ y_M=4\\ z_M=3\end{array}\right..$
 
Vậy $x_M=-4.$
Chọn B.
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AB và B’D’ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AB và B’D’ bằng:

   A. ${30}^0$

   B. ${135}^0$

   C. ${45}^0$

   Đáp án chính xác

   D. ${90}^0$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng: $a//a‘\Rightarrow \angle \left(a;b\right)=\angle \left(a‘;b‘\right)$
   Cách giải:
   
   Ta có B’D’ // BD nên $\angle \left(AB;B‘D‘\right)=\angle \left(AB;BD\right)$
   Vì ABCD là hình vuông nên $\angle ABD={45}^0.$
   Vậy $\angle \left(AB;B‘D‘\right)={45}^0.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết ∫01fxdx=13 và ∫01gxdx=43. Khi đó ∫01gx−fxdx bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3}.$ Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx$ bằng: 

   A. $-\frac{5}{3}$

   B. $\frac{5}{3}$

   C. -1

   D. 1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$
   Cách giải:
   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1.$
    
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập xác định của hàm số y=logx+log3−x là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập xác định của hàm số $y=\log x+\log \left(3-x\right)$ là: 

   A. $\left(3;+\infty \right)$

   B. (0; 3)

   Đáp án chính xác

   C. $\left[3;+\infty \right)$

   D. [1; 3]

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Hàm số $y=\log x$ xác định khi x > 0.
   Cách giải:
   Hàm số $y=\log x+\log \left(3-x\right)$ xác định khi $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<3\end{array}\right.\iff 0<x<3.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   A. (0; 1)

   B. (-2; -1)

   C. (-1; 0)

   Đáp án chính xác

   D. (-1; 3)

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào đồ thị xác định các khoảng đồ thị đi lên từ trái qua phải.
   Cách giải:
   Dựa vào đồ thị và các đáp án ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên (-1; 0)
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng 600. Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng ${60}^0.$ Gọi r, h, l lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng? 

   A. l = 2r

   Đáp án chính xác

   B. h = 2r

   C. l = r

   D. h = r

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng $\alpha$ thì $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{h}$ với r, h lần lượt là bán kính đáy, đường cao của hình nón.
   – Sử dụng công thức: $l^2=h^2+r^2.$
   Cách giải:
   Vì góc ở đỉnh của một hình nón bằng ${60}^0$ nên $\tan {30}^0=\frac{r}{h}\iff \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{h}\iff h=\sqrt{3}r.$
   Lại có $l^2=h^2+r^2\Rightarrow l^2=3r^2+r^2\iff l=2r.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====