Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:x=1+ty=2−tz=t, d’:x=2t’y=1+t’z=2+t’. Đường thẳng Δ cắt d, d’ lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng Δ là 

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=t\end{array}\right.$, $d‘:\left\{\begin{array}{l}x=2t‘\\ y=1+t‘\\ z=2+t‘\end{array}\right.$. Đường thẳng $\Delta$ cắt d, d’ lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là 

A. $\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{-3}$

B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$

C. $\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{3}$

D. $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Phương pháp:
– Tham số hóa tọa độ các điểm A, B
– AB ngắn nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d, d’
– Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u‘}=0\end{array}\right.$ tìm tọa độ các điểm A, B với $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u‘}$ lần lượt là VTCP của d, d’
– Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}\left(a;b;c\right)$ là 1 VTCP: $\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}.$
Cách giải:
Gọi $\Delta \cap d=A\left(t+1;2-t;t\right);\Delta \cap d‘=\left(2t‘;1+t‘;2+t‘\right).$
AB ngắn nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d, d’
Gọi $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;1\right)$ và $\overrightarrow{u‘}=\left(2;1;1\right)$ lần lượt là VTCP của d, d’
Vì AB là đoạn vuông góc chung của d, d’ nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u‘}=0\end{array}\right.$
Ta có $\overrightarrow{AB}\left(2t‘-t-1;t‘+t-1;t‘-t+2\right).$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2t‘-t-1-t‘-t+1+t‘-t+2=0\\ 4t‘-2t-2+t‘+t-1+t‘-t+2=0\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}2t‘-3t=-2\\ 6t‘-2t=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t‘=\frac{1}{2}\\ t=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\left(2;1;1\right)\\ B\left(1;\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)\end{array}\right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-1;\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$
Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A(2; 1; 1) và có 1 VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(-2;1;3\right)$ là $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}.$
Chọn D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho a,b,c>0;a≠1,b≠1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $a,b,c>0;a\ne 1,b\ne 1.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 

   A. ${\log }_{a^c}b=c{\log }_{a}b$

   Đáp án chính xác

   B. ${\log }_{a}b.{\log }_{b}c={\log }_{a}c.$

   C. ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

   D. ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng các công thức logarit.
   Cách giải:
   Ta có ${\log }_{a^c}b=\frac{1}{c}{\log }_{a}b$ nên đáp án A sai.
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=x4−2×2+3. Khẳng định nào sau đây là đúng? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=x^4-2x^2+3.$ Khẳng định nào sau đây là đúng? 

   A. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.         

   B. Hàm số không có cực trị. 

   C. Hàm số có ba điểm cực trị                          

   Đáp án chính xác

   D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Tìm đạo hàm của hàm số.
   – Tìm nghiệm phương trình y’ = 0.
   Cách giải:
   Ta có $y=x^4-2x^2+3\Rightarrow y‘=4x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right..$
   Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho ∫01fxdx=2 và ∫01gxdx=5. Khi đó ∫01fx−2gxdx bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=5.$ Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]dx$ bằng 

   A. 12

   B. -3

   C. 1

   D. -8

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx,\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$
   Cách giải:
   Ta có $T=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=2-2.5=-8.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là

   A. $\frac{7!}{3!}$

   B. $A_7^3$

   C. 21

   D. $C_7^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Áp dụng công thức tính tổ hợp.
   Cách giải:
   Số tập con có 3 phần tử của tập hợp 7 phần tử là $C_7^3.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là

   A. $\frac{7!}{3!}$

   B. $A_7^3$

   C. 21

   D. $C_7^3$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Áp dụng công thức tính tổ hợp.
   Cách giải:
   Số tập con có 3 phần tử của tập hợp 7 phần tử là $C_7^3.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====