Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình x−31=y−11=z2 và mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2+2x−2y+2z−1=0. (P) và (Q) là hai mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo các đường tròn có bán kính bằng 1. Tính cosin của góc giữa (P) và (Q).

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+2x$$-2y+2z-1=0$. (P) và (Q) là hai mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo các đường tròn có bán kính bằng 1. Tính cosin của góc giữa (P) và (Q).

A.$\frac{5}{11}$

Đáp án chính xác

B.$\frac{4\sqrt{6}}{11}$

C.$\frac{5}{33}$

D.$\frac{2\sqrt{266}}{33}$

Trả lời:

Đáp án AĐường thẳng d đi qua các điểm $M\left(3;1;0\right)$ và  $N\left(4;2;2\right)$Xét mặt phẳng (P) có phương trình  $Ax+By+Cz+D=0$(P) đi qua d khi và chỉ khi (P) đi qua M và N $\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}3A+B+D=0\\ 4A+2B+2C+D=0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}C=-\frac{A+B}{2}\\ D=-3A-B\end{array}\right.\end{array}$Phương trình (P) trở thành $Ax+By-\frac{A+B}{2}x-3A-B=0$$\iff 2Ax+2By-\left(A+B\right)z$$-6A-2B=0$Mặt cầu (S) có tâm $I\left(-1;1;-1\right)$ và bán kính $R=2$ .Giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn có bán kính r=1. Suy ra  khoảng cách từ (I) đến (P) là $d=\sqrt{R^2-r^2}$$=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$Từ đó ta có $\begin{array}{l}\frac{\left|-2A+2B+A+B-6A-2B\right|}{\sqrt{4A^2+4B^2+{\left(A+B\right)}^2}}\\ \iff {\left(-7A+B\right)}^2=3\left(5A^2+5B^2+2AB\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\iff 34A^2-20AB-14B^2=0\\ \Rightarrow 34{\left(\frac{A}{B}\right)}^2-20\frac{A}{B}-14=0\\ \Rightarrow \frac{A}{B}=1\end{array}$  hoặc $\frac{A}{B}=\frac{-7}{17}$ Với $\frac{A}{B}=1\Rightarrow B=A$ ta có phương trình (P)$\begin{array}{l}2Ax+2Ay-2Az-8A=0\\ \iff x+y-z-4=0\end{array}$  Với $\frac{A}{B}=\frac{-7}{17}$ : Chọn $A=-\mathrm{7,}B=17$  ta có phương trình (Q): $7x-17y+5z-4=0$Gọi $\alpha$  là góc giữa (P) và (Q). Ta có $\cos \alpha =\frac{\left|1.7+1.\left(-17\right)-1.5\right|}{\sqrt{1+1+1}.\sqrt{49+289+25}}$$=\frac{5}{11}$  . Ta chọn đáp án A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào dưới đây nghịch biến?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào dưới đây nghịch biến?

   A.$y={\left(\frac{e}{2}\right)}^2$

   B.$y={\left(2\right)}^{-x}{\left(\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\right)}^x$

   C.$y={\left(\frac{4}{\sqrt{3}+2}\right)}^x$

   D.$y={\left(\frac{\pi +3}{2\pi }\right)}^x$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Quay trở lại tính chất của hàm số mũ
   Ta thấy  $0<\frac{\pi +3}{2\pi }<1$ (do $3<\pi$ ) nên hàm số $y={\left(\frac{\pi +3}{2\pi }\right)}^x$ nghịch biến trên tập xác định của nó.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho A và B theo thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức z1 và z2. Biết z1=z¯2≠0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho A và B theo thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức $z_1$ và $z_2$. Biết $z_1={\overline{z}}_2\ne 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

   A. A và B đối xứng qua trục Ox

   Đáp án chính xác

   B. A và B đối xứng qua trục Oy.

   C. A và B đối xứng qua gốc tọa độ O

   D. A và B đối xứng qua đường thẳng y=x.

   Trả lời:

   Đáp án AĐiểm biểu diễn $z_2$  và $\overline{z_2}$  đối xứng qua Ox mà $z_2={\overline{z}}_2$ nên điểm biểu diễn hai số phức $z_1$  và  $z_2$ đối xứng qua trục Ox, tức hai điểm A và B đối xứng qua trục Ox.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm sốy=f(x). Hàm số y=f'x có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=fx.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm sốy=f(x). Hàm số $y=f‘\left(x\right)$ có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$.

   A. 0.

   B. 1

   Đáp án chính xác

   C. 2

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án BNhìn vào đồ thị hàm số ta thấy có một giá trị của x (gải sử x = a) để  y ‘=0và không có giá trị nào của x làm y’ không xác định. Mặt khác y’  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = a do vậy x = a là một điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz cho các điểm A1;0;−1,  B3;4;−2, C4;−1;1 và D3;0;3. Tính thể tích tứ diện ABCD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz cho các điểm $A\left(1;0;-1\right)$,  $B\left(3;4;-2\right)$, $C\left(4;-1;1\right)$ và $D\left(3;0;3\right)$. Tính thể tích tứ diện ABCD.

   A. 7

   Đáp án chính xác

   B. 14

   C. 42

   D. 84

   Trả lời:

   Đáp án A$\overrightarrow{AB}=\left(2;4;-1\right)$,$\overrightarrow{AC}=\left(3;-1;2\right)$,$\overrightarrow{AD}=\left(2;0;4\right)$,$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(7;-7;-14\right)$$\begin{array}{l}{V}_{ABCD}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\right|\\ =\frac{1}{6}\left|7.2+\left(-7\right).0+\left(-14\right).4\right|\\ =7\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y=13x+2.Viết phương trình đường thẳng Δ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục là đường thẳng y=x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $y=\frac{1}{3}x+2$.Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục là đường thẳng y=x.

   A.$y=3x-6$

   Đáp án chính xác

   B.$y=3x+6$

   C.$y=-3x+6$

   D.$y=-3x-6$

   Trả lời:

   Đáp án AGọi $A\left(0;2\right)$  ; $B\left(-6;0\right)$  là hai điểm thuộc đường thằng d. Gọi A’  ;B’  lần lượt là điểm đối xứng quả A; B qua đường thẳng y=x.Ta có $A‘=\left(2;0\right),B^{‘}\left(0;-6\right)$ (xem hình vẽ)Phương trình đường thẳng  $A‘B‘:\frac{x}{2}+\frac{y}{-6}=1$$\iff y=3x-6$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====