Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 cắt đường tròn (C) tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ cắt đường tròn (C) tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?

A. $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{3}$

B. $m=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

C. $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$

Đáp án chính xác

D. $m=\frac{2\pm \sqrt{5}}{2}$

Trả lời:

Đáp án C$y^{‘}=3x^2-3m$Hàm số có hai điểm cực trị khi $m>0 \left(1\right)$Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có phương trình$y=-2mx+2\iff 2mx+y-2=0$Diện tích tam giác IAB là$S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}.IA.IB.\sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}$Dấu “=” xảy ra khi $\widehat{AIB}=90°$ tức là $\Delta IAB$ vuông tại I.Khi đó $d\left(I,AB\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \frac{\left|2m{x}_I+y_I-2\right|}{\sqrt{{\left(2m\right)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\iff 2\left|2m-1\right|=\sqrt{2}.\sqrt{4m^2+1}\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\\ m=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\end{array}\right. \left(2\right)$Từ (1) và (2) ta được $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:Số điểm cực trị của hàm số y=fx−4x là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)-4x$ là

   A. 2

   B. 3

   C. 4

   D. 1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DĐặt: $g\left(x\right)=f\left(x\right)-4x$Ta có: $g^{‘}\left(x\right)=f^{‘}\left(x\right)-4, g^{‘}\left(x\right)=0\iff f^{‘}\left(x\right)=4$Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình $f^{‘}\left(x\right)=4$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ trong đó $x_1=-1$ là nghiệm kép và $x_2>1$ là nghiệm đơn.$\Rightarrow$ Phương trình $g^{‘}\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ nhưng $g^{‘}\left(x\right)$ đổi dấu duy nhất 1 lần khi qua nghiệm $x_2$ này. Vậy hàm số $y=f\left(x\right)-4x$ có một điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm m đề đồ thị hàm số y=x4−2mx2+1 có ba điểm cực trị A0; 1, B, C thỏa mãn BC = 4
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm m đề đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+1$ có ba điểm cực trị $A\left(0;1\right),B,C$ thỏa mãn BC = 4

   A. $m=\sqrt{2}$

   B. $m=4$

   Đáp án chính xác

   C. $m=\pm 4$

   D. $m=\pm \sqrt{2}$

   Trả lời:

   Đáp án BTập xác định: $D=ℝ$$y‘=4x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\iff m>0$Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số:$A\left(0;1\right),B\left(\sqrt{m};-m^2+1\right),C\left(-\sqrt{m};-m^2+1\right)$Theo giả thiết $BC=4\iff 4m=16\iff m=4$ ( thỏa mãn).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x4−2m+1×2+m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y=x^4-2\left(m+1\right)x^2+m^2$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

   A. m = 0

   Đáp án chính xác

   B. m = -1, m = 0

   C. m = 1

   D. m = 1, m = 0

   Trả lời:

   Đáp án ACách 1: PP tự luậnTa có $y^{‘}=4x\left(x^2-m-1\right)$Xét $y^{‘}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right.$. Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì $m>-1$Tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2\right),B\left(\sqrt{m+1};-2m-1\right),C\left(-\sqrt{m+1};-2m-1\right)$Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì $H\left(0;-2m-1\right)$Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $AH=BH$$\iff \sqrt{{\left(m+1\right)}^4}=\sqrt{m+1}\iff {\left(m+1\right)}^4=m+1\iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=-1\left(ktm\right)\end{array}\right.$Chú ý: Điều kiện ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân có thể sử dụng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ hoặc $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.Cách 2: PP trắc nghiệmĐiều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0\iff m>-1$Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $b^3+8a=0$ $\iff -8{\left(m+1\right)}^3+8=0\iff m=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là x=−2, x=−1, x=2 và có đạo hàm liên tục trên ℝ.Khi đó hàm số y=fx2−2 có bao nhiêu điểm cực trị?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là $x=-2, x=-1, x=2$ và có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.Khi đó hàm số $y=f\left(x^2-2\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

   A. 5

   Đáp án chính xác

   B. 8

   C. 6

   D. 4

   Trả lời:

   Đáp án AVì hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là x = -2, x = -1, x = 2 và có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ nên f'(x) = 0 có ba nghiệm là x = -2, x = -1, x = 2 (ba nghiệm bội lẻ).Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2\right)$ có $g^{‘}\left(x\right)=2x.f^{‘}\left(x^2-2\right)$$g^{‘}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ f^{‘}\left(x^2-2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2-2=-2\\ x^2-2=-1\\ x^2-2=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right.$Do $g^{‘}\left(x\right)=0$ có các nghiệm bội lẻ $x=\pm 1;x=\pm 2;x=0$ suy ra $g^{‘}\left(x\right)$ đổi dấu năm lần nên hàm số $y=f\left(x^2-2\right)$ có năm điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số y=x4−2m−1×2+m2−m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số $y=x^4-2\left(m-1\right)x^2+m^2-m$ có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

   A. 2

   Đáp án chính xác

   B. 3

   C. -5

   D. 1

   Trả lời:

   Đáp án ATập xác định $D=ℝ$$y^{‘}=4x^3-4\left(m-1\right)x;y^{‘}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m-1\end{array}\right.$Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m>1\left(*\right)$Với điều kiện $\left(*\right)$, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2-m\right)$, $B\left(\sqrt{m-1};m-1\right)$,$C\left(-\sqrt{m-1};m-1\right)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(\sqrt{m-1};-m^2+2m-1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{m-1};-m^2+2m-1\right)$.Dễ thấy tam giác ABC luôn là tam giác cân tại ATam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi:$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\iff -\left(m-1\right)+{\left(m-1\right)}^4=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\right.$Đối chiều điều kiện $\left(*\right)$ ta có m = 2. Vậy $S=\left\{2\right\}$ nên tổng tất cả các phần tử của S là 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====