Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx+cosx+tanx+cotx+1sinx+1cosx

Câu hỏi:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right|$

A. $2\sqrt{2}-1$

Đáp án chính xác

B. $\sqrt{2}+1$

C. $2\sqrt{2}+1$

D. $\sqrt{2}-1$

Trả lời:

Đáp án A$y=\left|\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right|y=\left|\sin x+\cos x+\frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\right|$Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)$ thì $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$Khi đó:$y=\left|t+\frac{2\left(t+1\right)}{t^2-1}\right|=\left|t+\frac{2}{t-1}\right|=\left|t-1+\frac{2}{t-1}+1\right|$Nếu $t-1>0\Rightarrow t-1+\frac{2}{t-1}+1\ge 2\sqrt{2}+1\Rightarrow y\ge 2\sqrt{2}+1$Nếu $t-1<0\iff t<1$ thì ta viết lại $y=\left|1-t+\frac{2}{1-t}-1\right|$Ta có: $1-t+\frac{2}{1-t}-1\ge 2\sqrt{2}\Rightarrow 1-t+\frac{2}{1-t}-1\ge 2\sqrt{2}-1$ hay $y\ge 2\sqrt{2}-1$Vậy $y\ge 2\sqrt{2}-1$Dấu bằng xảy ra $\iff {\left(1-t\right)}^2=2\iff t=1-\sqrt{2}\left(t<1\right)$$\Rightarrow \sin x+\cos x=1-\sqrt{2}\iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1-\sqrt{2}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Với mỗi số thực x, gọi f(x) là giá trị nhỏ nhất trong các số g1x=4x+1,g2x=x+2,g3x=−2x+4. Giá trị lớn nhất của f(x) trên R là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với mỗi số thực x, gọi f(x) là giá trị nhỏ nhất trong các số $g_1\left(x\right)=4x+1,g_2\left(x\right)=x+2,g_3\left(x\right)=-2x+4$. Giá trị lớn nhất của f(x) trên R là:

   A. $\frac{1}{3}$

   B. $\frac{2}{3}$

   C. $\frac{8}{3}$

   Đáp án chính xác

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án CQuan sát các đồ thị hàm số ta thấy: (phía dưới)+ Trong nửa khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right]$ thì $\min \left\{g_1\left(x\right),g_2\left(x\right),g_3\left(x\right)\right\}=g_1\left(x\right)$ nên đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là nửa đường thẳng $y=g_1\left(x\right)$+ Trong đoạn $\left[\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right]$ thì $\min \left\{g_1\left(x\right),g_2\left(x\right),g_3\left(x\right)\right\}=g_2\left(x\right)$ nên đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là một đoạn đường thẳng $y=g_2\left(x\right)$+ Trong nửa khoảng $\left[\frac{2}{3};+\infty \right)$ thì $\min \left\{g_1\left(x\right),g_2\left(x\right),g_3\left(x\right)\right\}=g_3\left(x\right)$ nên đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là nửa đường thẳng $y=g_3\left(x\right)$$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là phần đường thẳng được tô màu đỏ.Suy ra giá trị lớn nhất của f (x) là $\frac{8}{3}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết rằng đồ thị của hàm số y=P(x)=x3−2×2−5x+2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là x1,x2,x3. Khi đó giá trị của biểu thức T=1×12−4×1+3+1×22−4×2+3+1×32−4×3+3 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết rằng đồ thị của hàm số $y=P\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là $x_1,x_2,x_3$. Khi đó giá trị của biểu thức $T=\frac{1}{x_1^2-4x_1+3}+\frac{1}{x_2^2-4x_2+3}+\frac{1}{x_3^2-4x_3+3}$ bằng:

   A. $T=\frac{1}{2}\left[-\frac{P‘\left(1\right)}{P\left(1\right)}+\frac{P‘\left(3\right)}{P\left(3\right)}\right]$

   B. $T=\frac{1}{2}\left[-\frac{P‘\left(1\right)}{P\left(1\right)}-\frac{P‘\left(3\right)}{P\left(3\right)}\right]$

   C. $T=\frac{1}{2}\left[\frac{P‘\left(1\right)}{P\left(1\right)}-\frac{P‘\left(3\right)}{P\left(3\right)}\right]$

   Đáp án chính xác

   D. $T=\frac{1}{2}\left[\frac{P‘\left(1\right)}{P\left(1\right)}+\frac{P‘\left(3\right)}{P\left(3\right)}\right]$

   Trả lời:

   Đáp án CXét biểu thức chia P(x) cho $x^2-4x+3$ ta được $P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x^2-4x+3\right)-4$Mà $P\left(x_1\right)=0\iff \left(x_1+2\right)\left(x_1^2-4x_1+3\right)-4=0$$\iff \frac{1}{x_1^2-4x_1+3}=\frac{x_1+2}{4}$Tương tự, ta có:$\frac{1}{x_2^2-4x_2+3}=\frac{x_2+2}{4}; \frac{1}{x_3^2-4x_3+3}=\frac{x_3+2}{4}$Vậy $T=\frac{x_1+2}{4}+\frac{x_2+2}{4}+\frac{x_3+2}{4}$$=\frac{x_1+x_2+x_3+6}{4}=2$Mặt khác thì$\frac{P‘\left(x\right)}{P\left(x\right)}=\frac{3x^2-4x-5}{x^3-2x^2-5x+2}\Rightarrow \frac{P‘\left(1\right)}{P\left(1\right)}=\frac{3}{2};\frac{P‘\left(3\right)}{P\left(3\right)}=-\frac{5}{2}\iff \frac{1}{2}\left[\frac{P‘\left(1\right)}{P\left(1\right)}-\frac{P‘\left(3\right)}{P\left(3\right)}\right]=2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:Đồ thị hàm số y=fx−2017+2018 có bao nhiêu điểm cực trị?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-2017\right)+2018\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

   A. 2

   B. 3

   Đáp án chính xác

   C. 5

   D. 4

   Trả lời:

   Đáp án BDo hàm số $y=f\left(x-2017\right)+2018$ thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ sang phải một đoạn có độ dài bằng 2017 đơn vị và tịnh tiến trên một đoạn có độ dài bằng 2018 đơn vị nên ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ như sau:Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số $y=\left|g\left(x\right)\right|$ là:Vậy đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-2017\right)+2018\right|$ có 3 cực trị

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 50km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy đến hòn đảo C (như hình vẽ). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 50km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy đến hòn đảo C (như hình vẽ). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

   A. $\frac{15}{2}\left(km\right)$

   B. $\frac{85}{2}\left(km\right)$

   Đáp án chính xác

   C. $50\left(km\right)$

   D. $10\sqrt{26}\left(km\right)$

   Trả lời:

   Đáp án BGọi AD là quãng đường cô An đi đường bộ.Đặt $DB=x\left(km\right)\left(0\le x\le 50\right)\Rightarrow AD=50-x\left(km\right)$Chi phí của cô An: $f\left(x\right)=\left(50-x\right)3+\sqrt{x^2+{10}^2.5}\left(USD\right)$f(x) liên tục trên $\left[0;50\right]$Ta có: $f‘\left(x\right)=-3+5.\frac{x}{\sqrt{x^2+100}}=\frac{-3\sqrt{x^2+100}+5x}{\sqrt{x^2+100}}$$f‘\left(x\right)=0\iff -3\sqrt{x^2+100}+5x=0\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 9\left(x^2+100\right)=25x^2\end{array}\right.$Ta có: $f\left(0\right)=200,f\left(50\right)=50\sqrt{26},f\left(\frac{15}{2}\right)=190$Để chi phí ít nhất thì $x=\frac{15}{2}$Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng $AD=50-\frac{15}{2}=\frac{85}{2}\left(km\right)$ để chi phí ít nhất.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y=x4−2m2x2+m4+3 có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y=x^4-2m^2{x}^2+m^4+3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

   A. $S=\left\{\frac{-1}{\sqrt{3}};0;\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$

   B. $S=\left\{-1;1\right\}$

   C. $S=\left\{\frac{-1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$

   Đáp án chính xác

   D. $S=\left\{\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$

   Trả lời:

   Đáp án C$y‘=4x^3-4m^{2}x;y‘=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm m\end{array}\right.$Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm hay $m\ne 0$Không mất ính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ $A\left(0;m^4+3\right);B\left(m;3\right);C\left(-m;3\right)$Ta có: $\overrightarrow{AC}\left(-m;-m^4\right);\overrightarrow{OC}\left(-m;3\right)$Tứ giác OBAC có: $\left\{\begin{array}{c}AB=AC\\ OB=OC\end{array}\right.$Suy ra OA là đường trung trực của BCĐể tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc ${90}^{\circ }$Khi đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OC}=0\iff m^2-3m^4=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(L\right)\\ m=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}\left(TM\right)\end{array}\right.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====