Một khối đa diện  được tạo thành bằng cách từ một khối lập phương cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 ở một “góc” của nó như hình vẽ.   Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng (A'B'C'D'), (BCC'B') và (DCC'D'). Tính bán kính của S.

Câu hỏi:

Một khối đa diện  được tạo thành bằng cách từ một khối lập phương cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 ở một “góc” của nó như hình vẽ.

 
Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa trong H và tiếp xúc với các mặt phẳng (A’B’C’D’), (BCC’B’) và (DCC’D’). Tính bán kính của S.

$\mathbf{A}.\frac{2+\sqrt{3}}{3}$

$\mathbf{B}. 3–\sqrt{3}$

Đáp án chính xác

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\mathbf{D}. \sqrt{2}$

Trả lời:

Chọn B

Gọi M là đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng 1 nằm trên đường chéo AC’ và nằm trên khối còn lại sau khi cắt. Gọi I là tâm của khối cầu có thể tích lớn nhất thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra I thuộc đoạn thẳng C’M và mặt cầu tâm I cần tìm đi qua điểm M

Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho C'(0;0;0), B’ (0;3;0), D'(3;0;0), C (0;0;3).
Khi đó M(2;2;2)
Ta có phương trình đường thẳng C’M là  với 2 > 0 > t do I thuộc đoạn thẳng C’M

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

   A. 6x + 3y – 2z – 6 = 0

   B. x + 2y + 3z – 14 = 0

   Đáp án chính xác

   C. x + 3y + 2z – 11 = 0

   $\mathbf{D}.\frac{\mathrm{x}}{1}+\frac{\mathrm{y}}{2}+\frac{\mathrm{z}}{3}=3$

   Trả lời:

   Chọn B
   Gọi A (a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với abc ≠ 0. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C là
   .
   Vì M(1;2;3) ∈ (P) nên ta có: .
   Điểm M là trực tâm của tam giác ABC.
   
   
   Phương trình mặt phẳng (P) là:  <=> x + 2y + 3z – 14 = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M sao cho 3MA2 + 2MB2 – MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M sao cho 3MA² + 2MB² – MC² đạt giá trị nhỏ nhất.

   $\mathbf{A}\mathbf{.} M\left(\frac{3}{4};\frac{1}{2};–1\right)$

   $\mathbf{B}\mathbf{.} M\left(–\frac{3}{4};\frac{1}{2};2\right)$

   $\mathbf{C}. M\left(–\frac{3}{4};\frac{3}{2};–1\right)$

   $\mathbf{D}\mathbf{.} M\left(–\frac{3}{4};\frac{1}{2};–1\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Cách 1: Giả sử
   
   
   Cách 2: Ta có:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C (0;0;c), trong đó a &gt; 0, b &gt; 0, c &gt; 0. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm I (1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Khi đó các số a, b, c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C (0;0;c), trong đó a > 0, b > 0, c > 0. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm I (1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Khi đó các số a, b, c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?

   A. a + b + c = 12

   B. a² + b = c – 6

   C. a + b + c = 18

   Đáp án chính xác

   D. a + b – c = 0

   Trả lời:

   Chọn C
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 16, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 16, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

   A. arccos(4/15)

   B. 1

   C. arcsin(4/5)

   Đáp án chính xác

   D. arccos(4/5)

   Trả lời:

   Chọn C
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian Oxyz, cho điểm H (2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho điểm H (2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

   A. 2x + y + z – 6 = 0

   Đáp án chính xác

   B. x + 2y + z – 6 = 0

   C. x + 2y + 2z – 6 = 0

   D. 2x + y + z + 6 = 0

   Trả lời:

   Chọn A
   Cách 1. Giả sử A (a; 0; 0) ∈ Ox, B (0;b;0) ∈ Oy, C (0;0;c) ∈ Oz.
   Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: 
   
   Do H là trực tâm tam giác ABC nên:
   
   Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: 
   
   Cách 2. Vì tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông tại O và H là trực tâm tam giác ABC nên  (tham khảo bài tập 4, trang 105 SGK HH11).
   Suy ra  Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x + y + x + D = 0
   H ∈ (P) nên: 2.2 + 1 + 1 + D = 0 => D = -6
   Vậy phương trình mặt phẳng  là: 2x + y + z – 6 = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====