Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn [-2017;2017] để phương trình x2-1log2x2+1-m2(x2-1)logx2+1+m+4=0  có đúng hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 1≤x1≤x2≤3

Câu hỏi:

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn [-2017;2017] để phương trình $\left(x^2–1\right){\log }^2\left(x^2+1\right)–m\sqrt{2(x^2–1)}\log \left(x^2+1\right)+m+4=0$ 
có đúng hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $1\le \left|x_1\right|\le \left|x_2\right|\le 3$

A. 4017.

B. 4028.

Đáp án chính xác

C. 4012.

D. 4003.

Trả lời:

Đáp án B
Điều kiện 

Phương trình đã cho tương đương với:

Đặt $t=x^2\ge 1$, theo bài ra ta có $1\le \left|x_1\right|<\left|x_2\right|\le 3\iff 1\le x_1^2<x_2^2\le 9\Rightarrow t\in \left[1;9\right]$
Xét hàm số $f\left(t\right)=\sqrt{2–(t–1)}.\log (t+1)$ trên đoạn $\left[1;9\right]$.
Ta có

$\Rightarrow$Hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên đoạn $\left[1;9\right]$. Khi đó $f\left(1\right)\le f\left(t\right)\le 9$ hay $1\le f\left(t\right)\le 4$.
Đặt $u=\sqrt{2(x^2–1)}.\log (x^2+1)\Rightarrow u\in \left[0;4\right]$. Khi đó phương trình $\left(*\right)$ trở thành $u^2–2m.u+2m+8=0\left(1\right)$.
Nhận thấy $u=1$ không phải là nghiệm của phương trình $\left(1\right)$. Với $u\ne 1$ thì phương trình $\left(1\right)$ tương đương với $u^2+8=2m(u–1)\iff 2m=\frac{u^2+8}{u–1}\left(2\right)$
Xét hàm số $g\left(u\right)=\frac{u^2+8}{u–1}$ trên đoạn $\left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$.
Ta có $g‘\left(u\right)=\frac{u^2–2u–8}{{\left(u–1\right)}^2}$; $g‘\left(u\right)=0\iff {[}_{u=–2}^{u=4}$. Mà $u\in \left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$ nên $u=4$.
Mặt khác, có $g\left(0\right)=–8$; $g\left(4\right)=8$; $\underset{x\to 1^{–}}{\lim }g\left(u\right)=–\infty$; $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(u\right)==\infty$.
Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\iff$ Phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm duy nhất trên đoạn  $\left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$.
Suy ra

Mặt khác $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, $m\in \left[–2017;2017\right]$ nên suy ra

Vậy có tất cả $\left(2017–4+1\right)+\left(–4+2017+1\right)=4028$ giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình log22x+log2x=174
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2^{2}x+{\log }_{2}x=\frac{17}{4}$

   A. $\frac{17}{4}$

   B. $\frac{1}{4}$

   C. $\frac{3}{2}$

   D. $\frac{1}{2}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho a,b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a,b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?

   

   Đáp án chính xác

   

   

   

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập nghiệm của bất phương trình 132x-1⩾13 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x–1}⩾\frac{1}{3}$ là

   

   

   

   

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Gọi S=(a;b) là tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình log2(mx-6×3)+log12(-14×2+29x-2)=0 có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu H=b-a bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi S=(a;b) là tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${\log }_2(mx–6x^3)+{\log }_{\frac{1}{2}}(–14x^2+29x–2)=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu H=b-a bằng

   A. $\frac{5}{2}$

   B. $\frac{1}{2}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{2}{3}$

   D. $\frac{5}{3}$

   Trả lời:

   
   
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2sin2x+3cos2x=m.3sin2x có nghiệm?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $2^{{\sin }^{2}x}+3^{{\cos }^{2}x}=m.3^{{\sin }^{2}x}$ có nghiệm?

   A. 7.

   B. 4.

   Đáp án chính xác

   C. 5.

   D. 6.

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====