Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2+x−2 và đường thẳng y=m+1+2 có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu hỏi:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+x-2$ và đường thẳng $y=\left(m+1\right)+2$ có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 11

B. $\frac{21}{2}.$

C. $\frac{32}{3}.$

Đáp án chính xác

D. $\frac{23}{2}.$

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là
$x^2+x-2=\left(m+1\right)x+2\iff x^2-mx-4=0\left(1\right).$
Do phương trình (1) có P = -4 < 0 nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Theo định lí Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=-4\end{array}\right..$
 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+x-2$ và đường thẳng $y=\left(m+1\right)x+2$ là:
$S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|x^2+x-2-\left[\left(m+1\right)x+2\right]\right|dx=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|x_2-mx-4\right|dx=-\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left(x^2-mx-4\right)dx=\underset{x_2}{\overset{x_1}{\int }}\left(x^2-mx-4\right)dx$
$=\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{m}{2}{x}^2-4x\right)\left|\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right.=\frac{1}{3}\left(x_1^3-x_2^3\right)-\frac{m}{2}\left(x_1^2-x_2^2\right)-4\left(x_1-x_2\right)$
$=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)-3m\left(x_1+x_2\right)-24\right]$
$=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left[2{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-3m\left(x_1+x_2\right)-24\right]$
$=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left(2m^2+8-3m^2=24\right)=\frac{1}{6}\left(x_1-x_2\right)\left(m^2+16\right).$
Suy ra $S^2=\frac{1}{36}{\left(x_2-x_1\right)}^2{\left(m^2+16\right)}^2=\frac{1}{36}\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]{\left(m^2+16\right)}^2=\frac{1}{36}{\left(m^2+16\right)}^3$
$\Rightarrow S^2\ge \frac{1}{36}{.16}^3=\frac{1024}{9}\Rightarrow S\ge \frac{32}{3}.$
 
Dấu “=” xảy ra $\iff m=0$
Vậy $S_{\min }=\frac{32}{3}$ khi m = 0.
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=5−3i,z2=−1+2i. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1+z2 bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=5-3i,z_2=-1+2i.$ Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z_1+z_2$ bằng 

   A. 5                             

   B. 4                             

   C. 3                             

   Đáp án chính xác

   D. 7

   Trả lời:

   Ta có $z_1+z_2=4-i.$ Tổng phần thực và phần ảo của $z_1+z_2$ bằng 3.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là 

   A. $\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i.$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i.$

   C. 4 + 3i

   D. 3 – 4i

   Trả lời:

   Số phức nghịch đảo của z = 3 + 4i là $\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{3^2+4^2}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. ∫01x2dx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx$ bằng

   A. $\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   B. -1

   C. 2

   D. 1

   Trả lời:

   Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{3}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. ∫01x2dx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx$ bằng

   A. $\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   B. -1

   C. 2

   D. 1

   Trả lời:

   Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{3}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Với x > 0 đạo hàm của hàm số y=log5x là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với x > 0 đạo hàm của hàm số $y={\log }_{5}x$ là

   A. $y‘=\frac{x}{\ln 5}.$

   B. $y‘=\frac{1}{x}.$

   C. $y‘=\frac{1}{x\ln 5}.$

   Đáp án chính xác

   D. $y‘=\frac{\ln 5}{x}.$

   Trả lời:

   Ta có: $y‘=\left({\log }_{5}x\right)‘=\frac{1}{x\ln 5}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====