Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dung một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng a = 24 và b = 3, hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

Câu hỏi:

Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dung một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng a = 24 và b = 3, hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

A. 18$\sqrt{5}$

B. 27$\sqrt{5}$

C. 15$\sqrt{5}$

Đáp án chính xác

D. 12$\sqrt{5}$

Trả lời:

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)
Suy ra độ dài thanh sào là 
Đặt ,do đó $L=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}$
 
Yêu cầu bài toán $\iff L_{min}\iff f\left(x\right)=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x} min$
Ta có $f‘\left(x\right)=\frac{3 \sin x}{{\cos }^{2}x}–\frac{24 \cos x}{{\sin }^{2}x}=0\iff {\sin }^{3}x=8{\cos }^{3}x\iff \tan x=2\Rightarrow \cos x =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1–{\cos }^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
 
Suy ra $\underset{(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2})}{min}f\left(x\right)=15\sqrt{5}$ . Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là $15\sqrt{5}$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số  y=2x-1x-1 có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) . tồn tại điểm M( a; b) với; a; b nguyên dương thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Khi đó b-a= ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số  $y=\frac{2x–1}{x–1}$ có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) . tồn tại điểm M( a; b) với; a; b nguyên dương thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Khi đó b-a= ?

   A. 0

   B. -1

   C. 2

   D. 1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   +Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x= 1 và TCN là y= 2;  giao điểm của hai tiệm cận là
    I (1; 2) .
    Lấy điểm $M(a; b) \in \left(C\right)\Rightarrow b=\frac{2a–1}{a–1} (a>1).$
   + Phương trình tiếp tuyến của (C )  tại M là $y=–\frac{1}{{(a–1)}^2}(x–a)+\frac{2a–1}{a–1}$
   + Phương trình  đường thẳng MI  là $y=\frac{1}{{(a–1)}^2}(x–1)+2$
   + Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI  nên ta có
   $–\frac{1}{{(a–1)}^2}.\frac{1}{{(a–1)}^2}=–1\iff$
   Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là  M( 2; 3).
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=-x+12x-1  có đồ thị là (C) , đường thẳng d: y= x+ m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C)  tại 2 điểm phân biệt A: B . Gọi k1; k2  lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C)  tại A; B . Tìm m  để tổng k1+ k2  đạt giá trị lớn nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{–x+1}{2x–1}$  có đồ thị là (C) , đường thẳng d: y= x+ m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C)  tại 2 điểm phân biệt A: B . Gọi k₁; k₂  lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C)  tại A; B . Tìm m  để tổng k₁+ k₂  đạt giá trị lớn nhất.

   A. -2

   B. -1

   Đáp án chính xác

   C. 1

   D. 2

   Trả lời:

   + Phương trình hoành độ giao điểm của d  và (C)  là
   
   + Theo định lí Viet ta có  x₁+ x₂= -m ; x₁.x₂= ( -m-1) /2.
    Gọi A( x₁; y₁) ; B( x₂: y ₂)  .
   + Ta có $y‘=–\frac{1}{{(2x–1)}^2}$ , nên tiếp tuyến của ( C)  tại A và B  có hệ số góc lần lượt là
    
   $k_1=–\frac{1}{{(2x_1–1)}^2}; k_2=–\frac{1}{{(2x_2–1)}^2}$
   
   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m= -1.
   Vậy k₁+ k₂ đạt giá trị lớn nhất bằng – 2 khi m= -1.
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y=x+22x+31 .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B  và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}\left(1\right)$ .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B  và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ.

   A.  y= -x+1

   B. y= -x

   C. y= -x- 1

   D. y= -x- 2

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   + Gọi M(a; b)   là toạ độ của tiếp điểm
   Đạo hàm $y‘=\frac{–1}{{(2x+3)}^2}<0; \forall x$  .
   + Do tam giác OAB cân tại O  nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm). 
   Nghĩa là 
   
   -Với a= -1; b= 1   phương trình ∆: y- 1= -( x+ 1) hay y= -x ( loại) .
   -Với a= -2; b= 0 thì ∆ : y- 0= -( x+ 2) hay y=-x-2 (nhận).
   Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  y= -x- 2.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số  y=2x+2017x+1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số  $y=\frac{2x+2017}{\left|x\right|+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

   A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là  x= -1

   B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng  y= -2; y= 2 và không có tiệm cận đứng.

   Đáp án chính xác

   C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng.

   D. Tất cả sai.

   Trả lời:

   
   Suy ra đồ thị hàm số có 2TCN là y= 2 và y= -2 .
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Biết đường thẳng y= (3m-1) x+ 6m+3 cắt đồ thị hàm số y= x3-3×2+ 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m  thuộc khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết đường thẳng y= (3m-1) x+ 6m+3 cắt đồ thị hàm số y= x³-3x²+ 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m  thuộc khoảng nào dưới đây?

   A. (1; 3/2)

   B. (0;1)

   C.  (-1; 0)

   Đáp án chính xác

   D. (3/2; 2)

   Trả lời:

   PT hoành độ giao điểm là
   (3m-1) x+ 6m+ 3 = x³-3x²+ 1 hay   x³-3x² – (3m-1) x-6m-2=0  ( *)
   Giả sử A( x₁; y₁) ; B( x₂; y₂); B( x₃; y₃) lần lượt là giao điểm của (C) và (d)
   Vì B cách đều hai điểm A và C nên B là trung điểm của AC
   Suy ra x₁+ x₃= 2x₂
   Thay x₂ = 1vào , ta có 
   
   Vậy  -1< m< 0
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====