Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5x+2y+33xy+x+1=5xy5+3-x-2y+yx-2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =x + y.

Câu hỏi:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $5^{x+2y}+\frac{3}{3^{xy}}+x+1=\frac{5^{xy}}{5}+3^{–x–2y}+y\left(x–2\right)$
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =x + y.

A. $T_{min}=2+3\sqrt{2}$

B. $T_{min}=3+2\sqrt{3}$

Đáp án chính xác

C. $T_{min}=1+\sqrt{5}$

D. $T_{min}=5+3\sqrt{2}$

Trả lời:

Từ giả thiết ta suy ra

Xét hàm số $f\left(t\right)=5^t–\frac{1}{3^t}+t$ với $t \in \mathrm{ℝ}, f‘\left(t\right)=5^t.\ln 5+3^{–t}.\ln 3+1>0; \forall t\in \mathrm{ℝ}$
Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên R mà từ ( * ) suy ra
f (x+ 2y) =f( xy-1)  hay x+ 2y= xy-1

với x>0 suy ra y>1.
Khi đó
 
Xét hàm số
 $f\left(y\right)=\frac{y^2+y+1}{y–1} trên \left(1;+\infty \right)f‘\left(y\right)=\frac{y^2–2y–2}{{\left(y–1\right)}^2}=0\iff y=1\pm \sqrt{3}$
Vẽ BBT ta thấy với f(y) trên $\left(1;+\infty \right)$ đạt GTNN tại y = $1+\sqrt{3}$
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f(1+\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$.
Vậy kết quả là $3+2\sqrt{3}$
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biết đồ thị hàm số  y=2m-nx2+mx+1×2+mx+n-6 (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m+ n 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết đồ thị hàm số  $y=\frac{\left(2m–n\right)x^2+mx+1}{x^2+mx+n–6}$ (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m+ n 

   A. 3

   B. 8

   C. 9

   Đáp án chính xác

   D. 10

   Trả lời:

   + Ta có 
   
   Do đó đường thẳng y= 2m- n là TCN
   + Mà y= 0  là tiệm cận ngang của ĐTHS nên   0 = 2m- n
   + Vì  x= 0 là TCĐ của ĐTHS nên x= 0 là nghiệm của phương trình x²+ mx+n-  6= 0
   Vậy $\left\{\begin{array}{l}2m–n=0\\ n=6\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=6\end{array}\Rightarrow m+n=9\right.\right.$   
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  1+2cosx+1+2sinx=m2 có nghiệm thực?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  $\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x}=\frac{m}{2}$ có nghiệm thực?

   A. 3

   B. 1

   C. 4

   Đáp án chính xác

   D. 6

   Trả lời:

    
   Xét $x\in \left[–\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$ mà $\left\{\begin{array}{l}2\sin x+1\ge 0\\ 2\cos x+1\ge 0\end{array}\right.$suy ra $x\in \left[–\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right]$
   Ta có: 
   
   Đặt $t= \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\Rightarrow t\in \left[\frac{\sqrt{3}–1}{2};\sqrt{2}\right]$
   Và 2.sinx.cos x= t²– 1
   Khi đó:
   
   Suy ra y = f( t)  là hàm số đồng biến trên $\left[\frac{\sqrt{3}–1}{2};\sqrt{2}\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}min f\left(t\right)=f\left(\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\\ max f\left(t\right)=f\left(\frac{\sqrt{3}–1}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$
   Do đó, để f( t) = m²/8 có nghiệm $\iff \frac{1+\sqrt{3}}{2}\le \frac{m^2}{8}\le 2+2\sqrt{2}\iff 2\sqrt{1+\sqrt{3}}\le m\le 4\sqrt{1+\sqrt{2}}$
   Mà m nguyên chọn m= 5; 6;7; 8.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Xét hàm số  fx=x2+ax+b với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [- 1; 3].  Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a.b
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét hàm số  $f\left(x\right)=\left|x^2+ax+b\right|$ với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [- 1; 3].  Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a.b

   A. 2

   Đáp án chính xác

   B. -3

   C. -3/2

   D. 2/3

   Trả lời:

   Ta có 
   
   Từ (1) và (2), kết hợp với $\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge \left|x+y+z\right|$  ta được
   
   Giá trị nhỏ nhất của M là 2 .
   Dấu bằng xảy ra khi 
    
   cùng dấu
    
   Do đó $\left\{\begin{array}{l}a=–2\\ b=–1\end{array}\Rightarrow ab=2\right.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=2x+1x+1  có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m số sao cho đường thẳng d: y= x+m-1 cắt (C)   tại hai điểm phân biệt A; B thỏa mãn AB=23
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$  có đồ thị (C) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m số sao cho đường thẳng d: y= x+m-1 cắt (C)   tại hai điểm phân biệt A; B thỏa mãn $AB=2\sqrt{3}$

   A. $m=2\pm \sqrt{10}$

   B. $m=4\pm \sqrt{10}$

   Đáp án chính xác

   C. $m=4\pm \sqrt{3}$

   D. $m=2\pm \sqrt{3}$

   Trả lời:

   Xét phương trình hoành độ giao điểm:
   $\frac{2x+1}{x+1}=x+m–1(x\ne –1)\iff x^2+(m–2)x+(m–2)=0 (*)$
   Đường thẳng d cắt (C)   tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi  phương trình có hai nghiệm phân biệt khác – 1
   
   Khi đó d cắt ( C) tại A( x₁; x₁+ m- 1) ; B ( x₂; x₂+ m- 1)
   
   Áp dụng định lý Vi-et $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=–m+2\\ x_1{x}_2=m–2\end{array}\right.$  ta có:
   
   Vậy $m=4\pm \sqrt{10}$
    

   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số  y=12+4x-x2x2-6x+2m có đồ thị ( C) . Gọi tập S tất cả các giá trị của tham số thực m để ( C)  có đúng hai tiệm cận đứng. Hỏi tập S có bao nhiêu giá trị nguyên
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số  $y=\frac{12+\sqrt{4x–x^2}}{\sqrt{x^2–6x+2m}}$ có đồ thị ( C) . Gọi tập S tất cả các giá trị của tham số thực m để ( C)  có đúng hai tiệm cận đứng. Hỏi tập S có bao nhiêu giá trị nguyên

   A. 0

   B. 1

   Đáp án chính xác

   C. 3

   D. 4

   Trả lời:

   ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 4\\ x^2–6x+2m>0\end{array}\right.$
   Ta có $12+\sqrt{4x–x^2}\ne 0 \forall x$ nên để ( C)  có hai tiệm cận đứng thì phương trình
    $\sqrt{x^2–6x+2m}=0\iff x^2–6x+2m=0 (*)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc [ 0; 4]
   Đế phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $∆‘=9–2m>0\iff m<\frac{9}{2}$
   Gọi 2 nghiệm phân biệt của (*) là x₁< x₂  ta có  0≤ x₁< x₂≤ 4.
    Theo định lí Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=6\\ x_1{x}_2=2m\end{array}\right.$
   Khi đó
   
   Kết hợp nghiệm ta có $4\le m<\frac{9}{2}$
   Mà m nguyên nên m = 4
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====