Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. $2\sqrt{2}.$

B. $\sqrt{2}.$

Đáp án chính xác

C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Trả lời:

Chọn B

Ta có $△$ABC, $△$BCD đều cạnh bằng 2 nên $AC=CD=2\Rightarrow \Delta ACD$cân tại C.
Gọi I là trung điểm $AD\Rightarrow CI\perp AD.$
Lại có $\left\{\begin{array}{l}\left(ACD\right)\perp \left(ADB\right)\\ \left(ACD\right)\cap \left(ADB\right)=AD\\ IC\perp AD\end{array}\right.\Rightarrow CI\perp \left(ABD\right)$
$\Rightarrow CI\perp IB\left(doIB\subset \left(ABD\right)\right)\left(1\right)$

Ta có $\Delta ACD=\Delta ABD\left(c.c.c\right)\Rightarrow CI=IB \left(2\right).$
Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân tại $I\Rightarrow CB=IB\sqrt{2}\Rightarrow IB=\frac{CB}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=IC.$
$△$DIB vuông tại $I\Rightarrow ID=\sqrt{B{D}^2-I{B}^2}=\sqrt{2}\Rightarrow AD=2ID=2\sqrt{2}.$
Xét $△$ADB có $AB=DB=2; AD=2\sqrt{2}\Rightarrow \Delta ABD$ vuông tại B.
$\Rightarrow \widehat{ABD}={90}^o\Rightarrow \widehat{ACD}={90}^o.$
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là $R=ID=\sqrt{2}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====