Cho tứ diện ABCD có AD⊥ABC,AC=AD=2,AB=1 và BC=5. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có $AD\perp \left(ABC\right),AC=AD=2,AB=1$ và $BC=\sqrt{5}.$ Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD).

A. $d=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Đáp án chính xác

B. $d=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

C. $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D. $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Trả lời:

Trong (ABC) kẻ $AH\perp BC\left(H\in BC\right),$ trong (ADH) kẻ $AK\perp DH\left(K\in DH\right),$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AH\\ BC\perp AD\left(AD\perp \left(ABC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(ADH\right)\Rightarrow BC\perp AK$
$\left\{\begin{array}{l}AK\perp DH\\ AK\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow AK\perp \left(BCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(BCD\right)\right)=AH$
 
Xét tam giác ABC ta có $A{B}^2+A{C}^2=1^2+2^2=5=B{C}^2\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lí Pytago đảo).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{1.2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADH ta có $AK=\frac{AD.AH}{\sqrt{A{D}^2+A{H}^2}}=\frac{2.\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{4+\frac{4}{5}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$
Vậy $d=d\left(A;\left(BCD\right)\right)=\frac{\sqrt{6}}{3}.$
Chọn A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=1+2i và z2=−2+i. Điểm M biểu diễn số phức w=z1z2 có tọa độ là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=1+2i$ và $z_2=-2+i.$ Điểm M biểu diễn số phức $w=\frac{z_1}{z_2}$ có tọa độ là 

   A. M(-1; 0)

   B. M(0; -1)

   Đáp án chính xác

   C. M(0; 1)

   D. M(1; 0)

   Trả lời:

   Ta có: $w=\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+2i}{-2+i}=-i.$
   Vậy điểm M biểu diễn số phức $w=\frac{z_1}{z_2}$ có tọa độ là: M(0; -1)

   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=ax4+bx2+2 tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng x−2y+3=0. Tính a2−b2. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0.$ Tính $a^2-b^2.$ 

   A. $a^2-b^2=-2$

   B. $a^2-b^2=10$

   C. $a^2-b^2=13$

   D. $a^2-b^2=-5$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: $y‘=4a{x}^3+2bx.$
   $\Rightarrow$ tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ tại điểm A(-1; 1) có hệ số góc là k = -4a – 2b
   Vì tiếp tuyến tại A(-1; 1) vuông góc với đường thẳng $x-2y+3=0\iff y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ nên 
   $k.\frac{1}{2}=-1\iff k=-2.$
   Lại có điểm A(-1; 1) thuộc đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+2$ nên $a+b+2=1\iff a+b=-1\left(2\right).$
   Từ (1) và (2) ta có: a = 2; b = -3
   Vậy $a^2-b^2=2^2-{\left(-3\right)}^2=-5.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng d:x=1−ty=−2+tz=−1+2t? 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=-1+2t\end{array}\right.?$ 

   A. M(0; -1; 1)

   B. $Q\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2};0\right)$

   C. P(3; -4; -5)

   D. $N\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{2};2\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Thay tọa độ điểm $N\left(\frac{3}{2};-\frac{5}{2};2\right)$ vào phương trình đường thẳng ta có: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}=1-t\\ -\frac{5}{2}=-2+t\\ 2=-1+2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-\frac{1}{2}\\ t=-\frac{1}{2}\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow t\in \varnothing .$
   Vậy $N\notin d.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho số phức z thỏa mãn z+2−i=5. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=1+2iz là một đường tròn tâm I(a; b) và bán kính  Tính a + b + R.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức z thỏa mãn $\left|z+2-i\right|=\sqrt{5}.$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z$ là một đường tròn tâm I(a; b) và bán kính  Tính a + b + R.

   A. $a+b+R=12.$

   B. $a+b+R=–2.$

   Đáp án chính xác

   C. $a+b+R=7+\sqrt{5}$

   D. $a+b+R=–7+\sqrt{5}$

   Trả lời:

   Theo bài ra ta có: $w=\left(1+2i\right)z\Rightarrow z=\frac{w}{1+2i}.$
   Khi đó ta có:
        $\left|z+2-i\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \left|\frac{w}{1+2i}+2-i\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \left|\frac{w+\left(2-i\right)\left(1+2i\right)}{1+2i}\right|=\sqrt{5}$
   $\iff \frac{\left|w+\left(2-i\right)\left(1+2i\right)\right|}{\left|1+2i\right|}=\sqrt{5}$
   $\iff \left|w+4+3i\right|=5$
   $\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z$ là một đường tròn tâm I(-4; 3) và bán kính R = 5.
   Vậy $a+b+R=-4-3+5=-2.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0; 2]; f(0) = 1 và ∫02f’xdx=−3. Tính f(2).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0; 2]; f(0) = 1 và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx=-3.$ Tính f(2).

   A. f(2) = -4

   B. f(2) = -3

   C. f(2) = -2

   Đáp án chính xác

   D. f(2) = 4

   Trả lời:

   $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx=f\left(2\right)-f\left(0\right)\Rightarrow f\left(2\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f‘\left(x\right)dx+f\left(0\right)=-2.$
    
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====