Cho số thực a, biết rằng phương trình z4+az2+1=0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 thỏa mãn z12+4z22+4z32+4z42+4=441. Tìm a

Câu hỏi:

Cho số thực a, biết rằng phương trình $z^4+a{z}^2+1=0$ có bốn nghiệm z_1, z_2, z_3, z₄ thỏa mãn $\left(z_1^2+4\right)\left(z_2^2+4\right)\left(z_3^2+4\right)\left(z_4^2+4\right)=441$. Tìm a

A. $\left[\begin{array}{l}a=1\\ a=-\frac{19}{2}\end{array}\right.$

B. $\left[\begin{array}{l}a=-1\\ a=\frac{19}{2}\end{array}\right.$

Đáp án chính xác

C. $\left[\begin{array}{l}a=-1\\ a=-\frac{19}{2}\end{array}\right.$

D. $\left[\begin{array}{l}a=1\\ a=\frac{19}{2}\end{array}\right.$

Trả lời:

Chọn B

Nhận xét: $z^2+4=z^2-{\left(2i\right)}^2=\left(z+2i\right)\left(z-2i\right)$
Đặt $f\left(x\right)=z^4+a{z}^2+1,$ ta có:
$\left(z_1^2+4\right)\left(z_2^2+4\right)\left(z_3^2+4\right)\left(z_4^2+4\right)=\prod _{k=1}^4\left(z_k+2i\right).\prod _{k=1}^4\left(z_k-2i\right)=f\left(-2i\right).f\left(2i\right)=\left(16i^4+4a{i}^2+1\right)\left(16i^4+4a{i}^2+1\right)={\left(17-4a\right)}^2$

Theo giả thiết, ta có ${\left(17-4a\right)}^2=441\iff \left[\begin{array}{l}a=-1\\ a=\frac{19}{2}\end{array}\right.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====