Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 và môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a4+b bằng 

Câu hỏi:

Cho số phức $z=a+bi\left(a,b\in ℝ\right)$ thỏa mãn $4\left(z-\overline{z}\right)-15i=i{\left(z+\overline{z}-1\right)}^2$ và môđun của số phức $z-\frac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị $\frac{a}{4}+b$ bằng 

A. 3

B. 4                 

C. 1                     

D. 2   

Đáp án chính xác

Trả lời:

Phương pháp:
– Thay z = a + bi vào biểu thức $4\left(z-\overline{z}\right)-15i=i{\left(z+\overline{z}-1\right)}^2,$ từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b
– Tính $\left|z-\frac{1}{2}+3i\right|$ theo b
– Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức.
Cách giải:
Ta có: $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi.$
Khi đó:
     $4\left(z-\overline{z}\right)-15i=i{\left(z+\overline{z}-1\right)}^2$
$\iff 4\left(a+bi-a+bi\right)-15i=i{\left(a+bi+a-bi-1\right)}^2$
$\iff 8b-15={\left(2a-1\right)}^2$
Do ${\left(2a-1\right)}^2\ge 0\forall a$ nên $8b-15\ge 0\iff b\ge \frac{15}{8}.$
Ta có
$\left|z-\frac{1}{2}+3i\right|=\left|\left(a-\frac{1}{2}\right)+\left(b+3\right)i\right|$
$=\sqrt{{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(2a-1\right)}^2+{\left(2b+6\right)}^2}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{8a-15+{\left(2b+6\right)}^2}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{4b^2+32b+21}\left(b\ge \frac{15}{8}\right)$
 
Xét hàm số $f\left(x\right)=4x^2+32x+21$ với $x\ge \frac{15}{8}$ ta có $f‘\left(x\right)=8x+32>0,\forall x\ge \frac{15}{8}.$
$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $\left[\frac{15}{8};+\infty \right),$ do đó $f\left(x\right)\ge f\left(\frac{15}{8}\right)=\frac{1521}{16}.$
Khi đó $\min \left|z-\frac{1}{2}+3i\right|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1521}{16}}=\frac{39}{8}\iff b=\frac{15}{8}\Rightarrow a=\frac{1}{2}.$
Vậy khi môđun của số phức $z-\frac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\frac{a}{4}+b=\frac{1}{8}+\frac{15}{8}=2.$
Chọn D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 là 

   A. 2 + i

   Đáp án chính xác

   B. 1 – 2i

   C. 2 – i

   D. 1 + 2i

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Số phức có phần thực bằng a và phần ảo bằng b là z = a + bi.
   Cách giải:
   Số phức có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1 có dạng z = 2 + i.
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

   A. $2\pi rl$

   Đáp án chính xác

   B. $\pi r^2$

   C. $\frac{1}{3}\pi r^{2}l$

   D. $\pi rl$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng $S_{xq}=2\pi rl.$
   Cách giải:
   Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng $S_{xq}=2\pi rl.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tập xác định của hàm số y=x−1−2 là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập xác định của hàm số $y={\left(x-1\right)}^{-2}$ là 

   A. $ℝ\backslash \left\{1\right\}$

   Đáp án chính xác

   B. $\left(1;+\infty \right)$

   C. $\left[1;+\infty \right)$

   D. $ℝ$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Hàm số $y={\left[f\left(x\right)\right]}^n$ với $n\in {\mathbb{Z}}^{-}$ xác định khi và chỉ khi f(x) xác định và $f\left(x\right)\ne 0.$
   Cách giải:
   Hàm số $y={\left(x-1\right)}^{-2}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1.$
   Vậy TXĐ của hàm số là $ℝ\backslash \left\{1\right\}.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
   
   Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

   A. -1

   B. 4

   Đáp án chính xác

   C. -2

   D. 3

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào bảng biến thiên để xác định điểm cực đại là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.
   Cách giải:
   Hàm số đạt giá trị cực đại bằng 4 tại x = -1.
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Thể tích của hình nón có bán kính đáy r = 2 và đường cao h = 3 bằng 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của hình nón có bán kính đáy r = 2 và đường cao h = 3 bằng 

   A. $6\pi$

   B. $2\pi$

   C. $4\pi$

   Đáp án chính xác

   D. $12\pi$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Thể tích của hình nón có bán kính đáy r và đường cao h là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$
   Cách giải:
   Thể tích của hình nón có bán kính đáy r và đường cao h là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.3=4\pi .$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====