Câu hỏi:
Cho phương trình:
\({2^{ – \left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right|}}.{\log _{81}}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) + {2^{ – \left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| – 2}}.{\log _3}\left( {\frac{1}{{\left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2}}} \right) = 0\)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)
A.20.
B.19.
C.14.
D.28.
Đáp án chính xác
Trả lời:
Ta có:
\({2^{ – \left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right|}}.{\log _{81}}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) + {2^{ – \left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| – 2}}.{\log _3}\left( {\frac{1}{{\left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2}}} \right) = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow {2^{ – \left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| – 2}}.{\log _3}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) + {2^{ – \left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| – 2}}.{\log _3}\left( {\left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {2^{\left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2}}.{\log _3}\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) = {2^{ – \left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2}}.{\log _3}\left( {\left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}{\log _3}t\) với \(t \ge 2.\)
Có \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2.{\log _3}t + \frac{{{2^t}}}{{t.\ln 3}} = {2^t}\left( {\ln 2.{{\log }_3}t + \frac{1}{{t.\ln 3}}} \right) >0,\forall c \in \left[ {2; + \infty } \right).\)
Hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}{\log _3}t\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {\left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| + 2} \right) = f\left( {\left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| + 2 = \left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right| + 2 \Leftrightarrow \left| {\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1} \right| = \left| {\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1 = \left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1\\\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} + 1 = – \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} = \left| {{m^3}} \right| – 3{m^2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\\\left| {{x^3}} \right| – 3{x^2} = – \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} – 2{\rm{ }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2}\) có \(g’\left( x \right) = 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2}\)
Suy ra bảng biến thiên của hàm số \(g\left( {\left| x \right|} \right) = {\left| x \right|^3} – 3{x^2}\)
Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm.
TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} – 4 < \left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} < 0\\ – \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} – 2 \ge – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 < \left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} < 0\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} < 0\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 4 >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2}\left( {\left| m \right| – 3} \right) < 0\\{\left( {\left| m \right| – 2} \right)^2}\left( {\left| m \right| + 1} \right) >0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 < m < 3\)
TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} = 0\\ – 4 < – \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} – 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2}\left( {\left| m \right| – 3} \right) = 0\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} \ge – 2\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 3\end{array} \right.\)
TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm
\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} = – 4\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} >0\end{array} \right.\\ – 4 < – \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} – 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2}\left( {\left| m \right| – 3} \right) >0\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| >3\\\left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)
Xét phương trình: \( – \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} – 2 = \left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} \Leftrightarrow \left| {{m^3}} \right| – 3{m^2} + 1 = 0\) không có nghiệm nguyên.
Vậy \(S = \left\{ {0; \pm 1; \pm 2; \pm 3} \right\}.\) Tổng bình phương các phần tử của \(S\) là: 28.
Đáp án D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x – 2} \right)^3}\left( { – x + 5} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f’\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x – 2} \right)^3}\left( { – x + 5} \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
A.0.
B.2.
Đáp án chính xác
C.1.
D.3.
Trả lời:
Ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x – 2} \right)^3}\left( { – x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 2\\x = 5\end{array} \right..\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị.
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?A.\(\left( { – \infty ; – 1} \right).\)
B.\(\left( { – 1;1} \right).\)
Đáp án chính xác
C.\(\left( {0;2} \right).\)
D.\(\left( {0;4} \right).\)
Trả lời:
Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right).\)
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
Câu hỏi:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
A.\(y = \frac{{x + 5}}{{ – x – 1}}\).
B.\(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\).
C.\(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}\).
Đáp án chính xác
D.\(y = \frac{{x – 2}}{{2x – 1}}\).
Trả lời:
Xét hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}.\)
Ta có \(y’ = \frac{{ – 7}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D.\)
Vậy hàm số trên nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^3}{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A.0.
B.2.
Đáp án chính xác
C.3.
D.1.
Trả lời:
Ta có \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3}{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – 2\end{array} \right..\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị.
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là?
Câu hỏi:
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là?
A.84.
B.64.
Đáp án chính xác
C.48.
D.91.
Trả lời:
Gọi \(a\) là cạnh hình lập phương, ta có:
\({S_{tp}} = 6{a^2} = 96 \Leftrightarrow {a^2} = 16 \Leftrightarrow a = 4\)
Vậy thể tích của khối lập phương là \(V = {a^3} = {4^3} = 64\)
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====