Cho phương trình logaaxlogbbx=2020 với a,  b là các tham số thực lớn hơn 1. Gọi x1,  x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức P=6x1x2+a+b+314a+4b đạt giá trị nhỏ nhất thì a+b thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu hỏi:

Cho phương trình ${\log }_a\left(ax\right){\log }_b\left(bx\right)=2020$ với $a,b$ là các tham số thực lớn hơn $1$. Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức $P=6x_1{x}_2+a+b+3\left(\frac{1}{4a}+\frac{4}{b}\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left(6;7\right)$

B. $\left(-1;2\right)$

C. $\left(-2;3\right)$

D. $\left(5;7\right)$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D
Ta có ${\log }_a\left(ax\right){\log }_b\left(bx\right)=2020$
$\iff \left(1+{\log }_{a}x\right)\left(1+{\log }_{b}x\right)=2020\iff \left(1+{\log }_{a}x\right)\left(1+{\log }_{b}a{\log }_{a}x\right)=2020$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}m={\log }_{b}a\\ t={\log }_{a}x\end{array}\right.$(Do $a,b>1\Rightarrow m>0$).
Suy ra: $\left(1+t\right)\left(1+mt\right)=2020$$\iff m{t}^2+\left(m+1\right)t-2019=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(*\right)$
Xét $\Delta ={\left(m+1\right)}^2+\mathrm{4.2019.}m>0\Rightarrow m>0$.
Vậy phương trình $\left(*\right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$.
Theo Vi-et ta có: $t_1+t_2=-\frac{m+1}{m}$$\Rightarrow {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2=-\frac{{\log }_{b}a+1}{{\log }_{b}a}$
$\Rightarrow {\log }_a{x}_1{x}_2=-\left(1+{\log }_{a}b\right)=-{\log }_{a}ab$$\Rightarrow x_1{x}_2=\frac{1}{ab}$
Do đó $P=6x_1{x}_2+a+b+3\left(\frac{1}{4a}+\frac{4}{b}\right)$
$\iff P=\frac{6}{ab}+a+b+3\left(\frac{1}{4a}+\frac{4}{b}\right)$
$\iff P=\left(\frac{6}{ab}+\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b\right)+\left(\frac{1}{3}a+\frac{3}{4a}\right)+\left(\frac{3b}{4}+\frac{12}{b}\right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: $P\ge 3+1+6=10$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{2};b=4$. Vậy $a+b=\frac{11}{2}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho mặt cầu có bán kính R=3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho mặt cầu có bán kính $R=3.$ Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

   A. $9\pi$

   B. $36\pi$

   Đáp án chính xác

   C. $18\pi$

   D. $16\pi$

   Trả lời:

   Chọn B
   Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi {.3}^2=36\pi$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là

   A. $3$

   Đáp án chính xác

   B. $3\sqrt{3}$

   C. $27$

   D. $2$

   Trả lời:

   Chọn A
   Gọi cạnh của khối lập phương là $a$ ta có $a^3=27\iff a=3$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phương trình log2x+1=2 có nghiệm là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phương trình ${\log }_2\left(x+1\right)=2$ có nghiệm là

   A. $x=-3$

   B. $x=1$

   C. $x=3$

   Đáp án chính xác

   D. $x=8$

   Trả lời:

   Chọn C
   ${\log }_2\left(x+1\right)=2\iff x+1=2^2\iff x+1=4\iff x=3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
   

   A. $y=x^3-3x-1$

   Đáp án chính xác

   B. $y=x^3-3x^2-3x-1$

   C. $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x-1$

   D. $y=x^3+3x^2-3x+1$

   Trả lời:

   Chọn A
   – Đồ thị đi qua điểm (0;-1) nên phương án D bị loại và đồ thị đi qua điểm (2;1) nên B loại
   – Đồ thị có hai điểm cực trị nên phương án C bị loại ( có $y‘=x^2+3>0$)
   – Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-3), thay vào phương án A thấy thỏa mãn

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3−3×2+1 tại điểm A (3;1) là đường thẳng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tiếp tuyến đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ tại điểm A (3;1) là đường thẳng

   A. $y=-9x-26$

   B. $y=-9x-3$

   C. $y=9x-2$

   D. $y=9x-26$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Ta có : $y‘=3x^2-6x\Rightarrow y‘\left(3\right)=9$
   Phương trình tiếp tuyến tại điểm A (3;1) là $y=9\left(x-3\right)+1\iff y=9x-26$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====