Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60o như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000πcm3. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần dưới là bao nhiêu?

Câu hỏi:

Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60^o như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là $1000\pi \left(c{m}^3\right)$. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần dưới là bao nhiêu?

A. $\frac{1}{3\sqrt{3}}$

B. $\frac{1}{8}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{1}{27}$

D. $\frac{1}{64}$

Trả lời:

Chọn B

Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là $x,\text{ y }\left(x>y\right)$
Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là $x\sqrt{3},\text{ y}\sqrt{3}$
Theo giả thiết, ta có $\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{3}+y\sqrt{3}=30\\ \frac{1}{3}\pi x^2.x\sqrt{3}+\frac{1}{3}\pi y^2.y\sqrt{3}=1000\pi \end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=10\sqrt{3}\\ x^3+y^3=1000\sqrt{3}\end{array}\right.\iff x=\frac{20\sqrt{3}}{3},\text{ y}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$
Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng ${\left(\frac{y}{x}\right)}^3=\frac{1}{8}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====