Câu hỏi:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có độ dài cạnh bên là \(2a,\) đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\) góc giữa \(AC’\) và mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) bằng \({30^0}\) (tham khảo hình vẽ).
Tính theo \(a\) thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ \(ABC.A’B’C’.\)
A.\(\pi {a^3}.\)
B. \(3\pi {a^3}.\)
C.\(2\pi {a^3}.\)
D.\(4\pi {a^3}.\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn \(BC,\) vì \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân nên \(H\) là chân đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) đồng thời cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là \(HC.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB’\end{array} \right.\) nên \(AH \bot \left( {BCC’B’} \right).\)
Suy ra \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(AC\) lên \(\left( {BCC’B’} \right).\)
Góc giữa \(AC’\) và mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) là \(\widehat {AC’H} = {30^0}.\)
Đặt \(HC = x \Rightarrow AC = x\sqrt 2 .\)
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta ACC’\) ta được \(AC’ = \sqrt {2{x^2} + 4{a^2}} .\)
Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta HCC’\) ta được \(HC’ = \sqrt {{x^2} + 4{a^2}} .\)
Xét \(\Delta AHC’\) vuông tại \(H\) có: \(\cos \left( {{{30}^0}} \right) = \frac{{HC’}}{{AC’}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt {\frac{{{x^2} + 4{a^2}}}{{2{x^2} + 4{a^2}}}} .\)
Khi đó: \(\frac{3}{4} = \frac{{{x^2} + 4{a^2}}}{{2{x^2} + 4{a^2}}} \Leftrightarrow 6{x^2} + 12{a^2} = 4{x^2} + 16{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .\)
Thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp của lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là:
\(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {HC} \right)^2}CC’ = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}.\)
Đáp án D
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{ – x + 3}}?\)
Câu hỏi:
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{ – x + 3}}?\)
A. \(x = – 2.\)
B. \(y = – 2.\)
C. \(y = 0.\)
Đáp án chính xác
D. \(x = 3.\)
Trả lời:
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2}}{{ – x + 3}} = 0\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2}}{{ – x + 3}} = 0)\) nên đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hai số thực dương \(a,b.\) Rút gọn biểu thức \(\) ta thu được \(A = {a^m}.{b^n}.\)
Câu hỏi:
Cho hai số thực dương \(a,b.\) Rút gọn biểu thức \(\) ta thu được \(A = {a^m}.{b^n}.\)
A.\(\frac{1}{{21}}.\)
B.\(\frac{1}{9}.\)
Đáp án chính xác
C.\(\frac{1}{{18}}.\)
D. \(\frac{1}{8}.\)
Trả lời:
\(A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow m = n = \frac{1}{3}.\)
Vậy \(m.n = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}.\)
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cắt hình nón \(S\) bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính theo \(a\) thể tích của khối nón đã cho.
Câu hỏi:
Cắt hình nón \(S\) bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính theo \(a\) thể tích của khối nón đã cho.
A. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 7 }}{3}.\)
C. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)
Đáp án chính xác
D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{4}.\)
Trả lời:
Ta có bán kính đáy và chiều cao của hình nón đều bằng nửa cạnh huyền: \(r = h = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\) Do vậy thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)
Đáp án C====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Đồ thị hàm số \(y = – {x^4} + {x^2} + 2\) cắt trục \(Oy\) tại điểm nào?
Câu hỏi:
Đồ thị hàm số \(y = – {x^4} + {x^2} + 2\) cắt trục \(Oy\) tại điểm nào?
A. \(A\left( {2;0} \right).\)
B. \(A\left( {0;0} \right).\)
C. \(A\left( {0; – 2} \right).\)
D. \(A\left( {0;2} \right).\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2.\)
Đáp án D====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 5,BC = 4\). Tính thể tích của khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh \(AB.\)
Câu hỏi:
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 5,BC = 4\). Tính thể tích của khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh \(AB.\)
A. \(V = 100\pi .\)
B. \(V = 80\pi .\)
Đáp án chính xác
C. \(V = \frac{{80}}{3}\pi .\)
D. \(V = 20\pi .\)
Trả lời:
Khối lăng trụ tạo thành khi cho hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh \(AB\) có bán kính đáy là \(R = BC = 4,\) có đường cao là \(h = AB = 5.\) Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {R^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi .\)
Đáp án B====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====